统计学习方法-第2章感知机算法代码实现

第2章 感知机

1．感知机是根据输入实例的特征向量x对其进行二类分类的线性分类模型：
$$f(x)=\mathrm{sign}(w\cdot x+b)$$
感知机模型对应于输入空间（特征空间）中的分离超平面$w\cdot x+b=0$。

2．感知机学习的策略是极小化损失函数：
$$\underset{w,b}{\min }L(w,b)=-\sum _{x_i\in M}{y}_i\left(w\cdot x_i+b\right)$$
M为误分类点的集合，损失函数对应于误分类点到分离超平面的总距离。

3、感知机学习算法是基于随机梯度下降法的对损失函数的最优化算法，有原始形式和对偶形式。算法简单且易于实现。原始形式中，首先任意选取一个超平面，然后用梯度下降法不断极小化目标函数。在这个过程中一次随机选取一个误分类点使其梯度下降。

4．当训练数据集线性可分时，感知机学习算法是收敛的。感知机算法在训练数据集上的误分类次数$k$满足不等式：
$$k⩽{\left(\frac{R}{\gamma }\right)}^2$$
当训练数据集线性可分时，感知机学习算法存在无穷多个解，其解由于不同的初值或不同的迭代顺序而可能有所不同。

二分类模型

$f(x)=sign(w\cdot x+b)$

$\mathrm{sign}(x)=\{\begin{array}{ll}+1,& x⩾0\\ -1,& x<0\end{array}$

给定训练集：

$T=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots ,\left(x_N,y_N\right)\right\}$

定义感知机的损失函数

$L(w,b)=-{\sum }_{x_i\in M}{y}_i\left(w\cdot x_i+b\right)$

算法

随机梯度下降法 Stochastic Gradient Descent

随机抽取一个误分类点使其梯度下降。

$w=w+\eta y_i{x}_i$

$b=b+\eta y_i$

当实例点被误分类，即位于分离超平面的错误侧，则调整w, b的值，使分离超平面向该无分类点的一侧移动，直至误分类点被正确分类

拿出iris数据集中两个分类的数据和[sepal length，sepal width]作为特征
共有150个数据，如下图，每50个花为一类，取0号花与1号花。

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt


iris = load_iris()

df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:, 0:2], data[:, -1]
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])

Perceptron

class Model:
    def __init__(self):
        self.w = np.ones(len(data[0]) - 1, dtype=np.float32)
        self.b = 0
        self.l_rate = 0.1

    def sign(self, x, w, b):
        y = np.dot(x, w) + b
        return y

    def fit(self, X_train, y_train):
        is_wrong = False
        while not is_wrong:
            wrong_count = 0
            for d in range(len(X_train)):
                X = X_train[d]
                y = y_train[d]
                if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
                    self.w = self.w + self.l_rate * np.dot(y, X)
                    self.b = self.b + self.l_rate * y
                    wrong_count += 1
            if wrong_count == 0:
                is_wrong = True
        return 'Perceptron Model!'

    def score(self):
        pass

perceptron = Model()
print(perceptron.fit(X, y))
x_points = np.linspace(4, 7, 10)  # 从4到7中取10个点
y_ = -(perceptron.w[0] * x_points + perceptron.b) / perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)
plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel("sepal length")
plt.ylabel('sepal width')
# 显示图例
plt.legend()
plt.show()