Ceres中的LocalParameterization

QuaternionParameterization中表示四元数中四个量在内存中的存储顺序是[w, x, y, z]，而Eigen内部四元数在内存中的存储顺序是[x, y, z, w]，但是其构造顺序是[w, x, y, z]（不要被这个假象给迷惑），所以就要使用另一种参数本地化类，即EigenQuaternionParameterization，下面就以QuaternionParameterization为例子说明，如下：

class CERES_EXPORT QuaternionParameterization : public LocalParameterization {
 public:
  virtual ~QuaternionParameterization() {}
  virtual bool Plus(const double* x,
                    const double* delta,
                    double* x_plus_delta) const;
  virtual bool ComputeJacobian(const double* x,
                               double* jacobian) const;
  virtual int GlobalSize() const { return 4; }
  virtual int LocalSize() const { return 3; }
};

1、GlobalSize()

表示参数 x

x 的自由度（可能有冗余），比如四元数的自由度是4，旋转矩阵的自由度是9

2、LocalSize()

表示 Δx

Δx 所在的正切空间（tangent space）的自由度，那么这个自由度是3

上面的意思是说，SO3空间是属于非欧式空间的，但是没关系，我们只要保证旋转的局部是欧式空间，就可以使用流形进行优化了. 比如用四元数表示的3D旋转是属于非欧式空间的，那么我们取四元数的向量部分作为优化过程中的微小增量（因为是小量，所以不存在奇异性）. 为什么使用四元数的向量部分？这部分可以参考《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》. 这样一来，向量部分就位于欧式空间了，也就得到了正切空间自由度是3.

可理解为右扰动。

 《视觉 SLAM 十四讲》 4.3.4，在 so(3) 上进行扰动。总结，如果是对整个 se(3) 做一个 Parameterization（参考郑帆的博客《On-Manifold Optimization Demo using Ceres Solver》），那么就需要使用《视觉 SLAM 十四讲》 4.3.5 的导数模型，如果仅仅只是 QuaternionParameterization，那么仅需要使用《视觉 SLAM 十四讲》 4.3.4 的导数模型。在确定 Parameterization 的导数模型时，也应该关注在 CostFunction 中 residual 是如何计算的。

ref:https://blog.csdn.net/hzwwpgmwy/article/details/86490556

https://www.cnblogs.com/JingeTU/p/11707557.html