动态规划解决跳台阶问题

问题描述

某互联网公司的一道面试题，题目是一个人上台阶，台阶有n级，他可以一次上1级，可以一次上2级，也可以一次上3级，问上这个n级的台阶一共有多少种上法。

问题分析

首先我们先归纳分析一下一些比较简单的情况：

如果台阶只有1级，那么他一次就可以上去，很显然，上法只有1种；

如果台阶有2级，那么他可以1-1，也可以直接上到2级，这时一共有2种上法；

如果台阶有3级，那么他可以1-1-1，可以1-2，可以2-1，也可以直接上到3，这样一共有4种上法；

如果台阶为4级，那么他可以1-1-1-1，可以1-1-2，可以1-2-1，可以2-1-1，可以1-3，可以3-1，也可以2-2，一共有7种上法；

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通过简单的分析，我们发现台阶数为4的时候，其上法等于1+2+4，也就是台阶数为1,2,3的上法的总和，依次类推。

一般情况下，我们把n级台阶的跳法写成n的函数f(n)。当n大于等于4时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，即若要跳到n级台阶等于从n-1级台阶再跳1级，或从n-2级台阶再跳2级，或者从n-3级台阶再跳3级。

            /          1                    n=1

          /

        /              2                    n=2

f(n)=

        \              4                    n=3

          \

            \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)  n>=4

有了这个状态转移公式，并且满足动态规划的条件（最优子结构，无后效性等），就能用动态规划来求解。

程序代码

下面是部分程序代码：

	int i=0;
	int step[num];

	assert(num>0);

	step[0]=1;
	step[1]=2;
	step[2]=4;

	if(num<=3)
	{
	
		printf("need %d steps\n",step[num-1]);
		return 0;
	}

	for(i=3;i

总结

该问题属于比较基础的动态规划问题，经过分析归纳后能得出状态转移方程，然后即可利用动态规划思想解决。