【二分图匹配】 最小点覆盖==最大匹配数

 先说一下，什么叫做最小覆盖点。

    在一个二分图中，一个x部或y部的覆盖点可以覆盖与之相连的所有线段，选择一些点，使得覆盖所有线段，点数最少。

    König定理：最小覆盖点数==最大匹配数

    我有两个证明。

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    证明一：

    首先，我们要抓住二分图最大匹配后图的特点，此时，不存在增广路。如下图所示，该图为不完整的最大匹配后的二分图：

    

     红点为匹配点，蓝点为未匹配点。

     对于一个点而言，他所连接的点有这三种情况：

     1、只连接了红点；

     2、只连接了蓝点；

     3、连接了红点和蓝点。

     在上面的图中，x与y是所连接的边是匹配边。x连接了红点和蓝点，这个时候，y所连接的点一定没有蓝点，如果有，就是一条新的增广路，那么该图就不是最大匹配图了。

     另一天更明显，就是在最大匹配图中 不会出现一条边同时连接着两个蓝点。

     那么，对于一条边而言，只有两种情况：

     1、两端的点是红点；

     2、两端的点一点是红色，一点是蓝色。

     可知，一条边上，一定有红点，那么，我们就选择红点作为覆盖点。

     对于上面的匹配边xy，我们无论是选择x还是y都可以覆盖xy这条边，但是对于图中的蓝点而言，只能选择x作为覆盖点去覆盖那条边，这样，我们就选择x作为覆盖点，它所覆盖的边中，既包括了与他相连的那些蓝点的边，也包括了xy这条匹配边。因为y点没有蓝色连接点，所以，y不是必须选择的覆盖点，它与那些红点相连的边都可以选择那些红点来覆盖边。所以，对于一条匹配边而言，我们只需要选择其中一个点就可以覆盖完整个二分图里的边了。

    所以最小覆盖点数等于最大匹配。  

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    证明二：

    这是Matrix67的证明，ccy用自己的语言写一下，O(∩_∩)O~~~~~~~~~~~~

    Matrix67证明的链接：http://www.matrix67.com/blog/?s=%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%A6%86%E7%9B%96%E7%82%B9

   

    对于一个已经匹配好的二分图，我们进行如下操作，就可以找出一些点，使之覆盖所有的边。

    规则如下：对于Y部所有未被匹配的点，我们就从它出发，找“交错轨”，这里的“交错轨”和匹配时的交错轨很相似，他们一样的地方都是从一个未被匹配的点出发，按着颜色交替搜下去，他们不同的是，匹配的交错轨最终要在另一个部里找到一个未匹配的点，这里的“交错轨”，没有办法找到未被匹配的点，我们就一直搜下去，知道搜不动，既搜到以前又搜过的。把搜这条“交错轨”所经过的点我们都做上标记。最后，覆盖点就是X部被标记了的点和Y部没有标记的点。

    如图所示：

    

    从Y部的未被匹配的点出发，顺着蓝色线所标记的路，经过的点都做上标记，最后，选取X部做了标记的点和Y部没有做标记的点，既图中的蓝点。

    从图中，直接看出，通过这种方法可以选取最大匹配数量的点覆盖完了所有的边。

 

    首先我们要明白按这种方法标记的特点：

    1、出发的第一条边是灰色，结束的边是黑色；

    2、X的被标记的点是从Y到X走灰边；

    3、Y被标记的点是未匹配的点或者从X到Y是黑色的边的点。

 

    我们看X部，它的点，有3种情况：

    1、只有一条黑边；

    2、只有灰边；

    3、黑边灰边都有。

    情况1只有一条黑边的点不可能被标记，由标记特点2可知。

    情况2只有灰边的点不可能被标记到。如果被标记，那么这条边就是结束边，而“交错轨”的结束边是黑色，由特点1知。

    情况3黑边灰边都有，这样的X点可能被标记，因为它有进有出。

 

    如果我们把X部标记了的点去掉后，只可能有下面三种情况：

    第一种：

    

    这个时候，只剩情况1、2的X部点，他们所连接的Y部点都是没有被标记的，最后，我们选择Y部点作为覆盖点时，整个图的边就覆盖完了。
    第二种：

    

    虽然上图有X点同时连接着灰边和黑边，但是，选择上图的两个蓝点后，就可以把所有的边覆盖完。
    第三种：

    第一种和第二种的综合版

    

    这个，纯属搞笑，O(∩_∩)O~。

 

    好了，这样我们证明了通过这种方法选择的点一定可以覆盖完所有边。

    下面，还需要证明，这样的覆盖点等于最大匹配数。

 

    对于每条匹配边而言，它都有X部和Y部的匹配点。我们通过标记后，对于走过的匹配边而言，我们选择的是X部的点，对于走过的匹配边而言，我们选择的是Y部的点，所以加起来就是匹配数。

    那么，这就一定是最小覆盖点数吗？

    答案是显而易见的，因为，每条匹配边之间都是独立的，没有重合的X部点或者Y部点，所以，只对于匹配边而言，每条匹配边都需要一个覆盖点，才能覆盖这条边。

    所以，最小覆盖点数等于最大匹配数。

转载自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_51cea4040100h152.html