AcWing 多重背包问题 II（多重背包二进制优化）

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

 二进制优化：

设正整数N，则1~N的所有整数可以用几个数通过求和得到。

例如 1~10的数就可以通过1，2，4，3来组合得到。而二进制优化就是求这样的数。

过程： 10-1 = 9，9-2 = 7，7-4 = 3，3<8所以直接保留3。

然后我们再来看这道题，每种物品最多有2000个，2000经过二进制优化后转换成最多不超过15个数，

然后就是基础的多重背包了。

代码：

#include 
 
using namespace std;
 
int dp[2005];
 
int main(){
	
	int N,V;
	while(scanf("%d %d",&N,&V) == 2){
		int top = 0;
		int v,w,s;
		while(N--){
			scanf("%d %d %d",&v,&w,&s);
			if(v*s >= V){
			//判断是否可以按完全背包放，根据测试数据不同可能会大幅度提升效率。 
				for(int i=v ; i<=V ; ++i){
					dp[i] = max(dp[i],dp[i-v]+w);
				}
			}
			else {
				int num = 1;
				while(true){
					if(s > num){
						s -= num;
						for(int i=V ; i>=num*v ; --i){
							dp[i] = max(dp[i],dp[i-num*v]+num*w);
						}
						num *= 2;
					}
					else {
						for(int i=V ; i>=s*v ; --i){
							dp[i] = max(dp[i],dp[i-s*v]+s*w);
						}
						break;
					}
				}
			}
		} 
		printf("%d\n",dp[V]);
	}
	
	return 0;
}