选球博奕与动态规划（三）

     观察图一可发现，各局面在决策树中是反复出现的，而且较复杂的局面可以分解为较简单的局面。现将各种情况分开讨论如下：

                                                                           图                        二

         图二中，a、b、c、d分别对应着初始局面为1 球、2球、3球、4球的情况。按照游戏要求，首轮决策不能将所有球取完，因此，初始局面为1球时无解；初始局面为2球时，由于同样的原因，只能转化为1球局面，此时1球局面不再是初始局面，故可不再受此规则限制，而推进至终局面；同样，初始局面为3球时，它只能转化为1球或2球两种局面，此时，1球局面可以直接推至终局面，而2球局面除了可转化为1球局面外，由于不再是初始局面，故会增加一个直接推至终局面的分支，但由于受另一条游戏要求，后一轮决策所取球数不能超过前一轮决策的取球数，的限制，实际上此分支不可选；初始局面为4球时，出于同样原因，它只能推进为3球、2球或1球三种局面，此时1球局面与b中的推进情况相似，而由于前一轮决策所取球数为2，所以2球局面直接推至终局面的分支，在此时可选，另外，3球局面虽然有终局面、1球、2球三个子局面备选，但同样由于受 “后一轮决策所取球数不能超过前一轮决策的取球数” 的限制，实际上只能取1个球而将局面转化为1球局面。

        从以上讨论可知，游戏要求“后一轮决策所取球数不能超过前一轮决策的取球数”，实际上是在中间局面所有潜在可能的选择上作了一个限制。如果不考虑这一限制，那么各局面与所有可能潜在的子局面将形成一种依赖关系。

                                                     图                      三

         图三罗列出了各种局面与其所有可能潜在的子局面之前的依赖关系，这种依赖关系形成一种重叠结构，图中的6球是初始局面，根据之前的讨论，图三可以扩展为初始局面的总球数为任意值的情况。

        局面N的一个解可看作是众多备选答案中符合要求的一个答案，也就是说求局面N的一个解实际上可看作是求最优值的问题。而根据之前讨论得到的局面有解或无解的等价描述可知，一个局面的解一定包含在它的一个子局面中。也就是一个问题的最优值包含在它的子问题中。

        同时，根据图二、图三可以看到，求局面解的问题可分解为它的子问题，而这个过程会形成一种重叠结构。

        因此，取球博奕问题符合动态规划求解问题的特征，用动态规划的方法来解决是最适合的。

       根据之前的讨论可以得到求解局面N的递归公式A，如下：

       当 时有：

                   

       当  时有：

                     

       同时有以下关系成立：

           ，；

          ；

          。

       根据以上递归关系可以构建问题的动态规划解，为了保存动态规划过程中形成的中间结果，可以设定以下的一种存储结构（假设初始局面的总球数最大值为M）：

struct SCond
{
    int  cond;
    bool  v;
    SCond*  pCndNext;
};

struct SNode
{
    int  n;
    SNode*  pNdNext;
};

struct SN
{
    SCond* pSCond;
    int  vol;
    SNode*  pSnNext;
};

SN  aySitu[M+1];

给出算法伪代码如下：

SOLVE(m, cnd)
  if aySitu[m].vol == cnd
     then return 1

  rm <- min(m, cnd)
  if aySitu[m] initiated 
    then return (int)anySitu[m].pSCond[rm].v
 
  aySitu[m].vol = m

  for c <- 1 to m-1     //condition
    do h <- 0  
       rear(aySitu[m].pSCond) <- create SCond
      
       for d <- 1 to c
         do h <- h + SOLVE(m-d,d)

       if h==c
         then  aySitu[m].pSCond[c].v = flase 
         else  aySitu[m].pSCond[c].v = true;
       aySitu[m].pSCond[c].cond = c
               
  return (int)aySitu[m].pSCond[m].v

        根据命题14可知，决策过程中，一个局面N的潜在可能子局面个数与N的局面值Vol(N)是相等的。同一个局面N可以出现在决策树中的不同位置，其局面条件（Cond(N)）可能相同也可能不同（参见图二），如果其局面条件相同，根据命题15，局面针对当前决策者的解也相同。因此，每个局面只要构建一个所有条件下是否有解的查找表，在接下来的动态规划过程中，就可以以此为基础，方便地建立起所有局面的依赖关系（如图三所示）。以上结构中，SN用来保存一个局面，SN中的域SCond* 就是用来保存一条由SCond为结点的链表的，链表中的每个结点保存了某一局面条件下，当前局面是否有解的信息。

        对以上伪代码需要作以下几点说明：代码指针域在C++中应用“->” 来指向，而在以上的伪代码里，用“.”来表示；生成的新结点要插入当前链表的尾部时，一般需要创建工作指针，而此处仅用 rear(...) <- create SCond来表示；对于链表中某一指定位置c 的结点的访问，一般需要从链表的首结点开始，逐一计数，直到找到第c 个结点为止，此处直接用下标（如pSCond[c]）来表示这一查找过程；在创建结点链表pSCond时，其位置值是与条件值一致的；局面所有球一次性被取走的情况不包括在pSCond链表中，因为局面在此种情况下的返回值，在实际的求解过程中，将由以上代码中的2-3行来执行。

        以上代码中，SCond中的cond域以及SN中的SNode域，没有被使用，这两个域是为代码的优化预留的。

        回到开头的问题：24个球，首轮决策者应该取几个能保证取到最后一个球？经以上算法处理后，如果aySitu[24].pSCond[23].v == true，那么说明局面有解；此时，检查其所有子局面G，1≤Vol(G) ≤ 23，如果某个子局面G无解，则说明G是局面24的解的首轮决策选择，将24减去G的值就可得到最终的答案；如果有多个子局面无解，说明局面24有多个解，将24逐一减去相应的G的值就可得到所有答案。

        以上的算法还需要作进一步的优化。       （待续）