分治算法求最近点对

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1007

先说下题意，很简单，给n个点的坐标，求距离最近的一对点之间距离的一半。第一行是一个数n表示有n个点，接下来n行是n个点的x坐标和y坐标，实数。
这个题目其实就是求最近点对的距离。《算法导论》上有详细讲解，王晓东的书上也有代码。主要思想就是分治。先把n个点按x坐标排序，然后求左边n/2个和右边n/2个的最近距离，最后合并。合并要重点说一下，比较麻烦。
首先，假设点是n个，编号为1到n。我们要分治求，则找一个中间的编号mid，先求出1到mid点的最近距离设为d1，还有mid+1到n的最近距离设为d2。这里的点需要按x坐标的顺序排好，并且假设这些点中，没有2点在同一个位置。（若有，则直接最小距离为0了）。
然后，令d为d1, d2中较小的那个点。如果说最近点对中的两点都在1-mid集合中，或者mid+1到n集合中，则d就是最小距离了。但是还有可能的是最近点对中的两点分属这两个集合，所以我们必须先检测一下这种情况是否会存在，若存在，则把这个最近点对的距离记录下来，去更新d。这样我们就可以得道最小的距离d了。
关键是要去检测最近点对，理论上每个点都要和对面集合的点匹配一次，那效率还是不能满足我们的要求。所以这里要优化。怎么优化呢？考虑一下，假如以我们所选的分割点mid为界，如果某一点的横坐标到点mid的横坐标的绝对值超过d1并且超过d2，那么这个点到mid点的距离必然超过d1和d2中的小者，所以这个点到对方集合的任意点的距离必然不是所有点中最小的。
所以我们先把在mid为界左右一个范围内的点全部筛选出来，放到一个集合里。筛选好以后，当然可以把这些点两两求距离去更新d了，不过这样还是很慢，万一满足条件的点很多呢。这里还得继续优化。首先把这些点按y坐标排序。假设排序好以后有cnt个点，编号为0到cnt-1。那么我们用0号去和1到cnt-1号的点求一下距离，然后1号和2到cnt-1号的点求一下距离。。。如果某两个点y轴距离已经超过了d，这次循环就可以直接break了，开始从下一个点查找了。

// 分治算法求最近点对
#include
#include
#include
using namespace std;

struct point
{
	double x , y;
}p[100005];

int a[100005];    //保存筛选的坐标点的索引

int cmpx(const point &a , const point &b)
{
	return a.x < b.x;
}
int cmpy(int &a , int &b)    //这里用的是下标索引
{
	return p[a].y < p[b].y;
}
inline double dis(point &a , point &b)
{
	return sqrt( (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
inline double min(double a , double b)
{
	return a < b ? a : b;
}
double closest(int low , int high)
{
	if(low + 1 == high)
		return dis(p[low] , p[high]);
	if(low + 2 == high)
		return min(dis(p[low] , p[high]) , min( dis(p[low] , p[low+1]) , dis(p[low+1] , p[high]) ));
	int mid = (low + high)>>1;
	double ans = min( closest(low , mid) , closest(mid + 1 , high) );    //分治法进行递归求解
	int i , j , cnt = 0;
	for(i = low ; i <= high ; ++i)   //把x坐标在p[mid].x-ans~p[mid].x+ans范围内的点取出来 
	{
		if(p[i].x >= p[mid].x - ans && p[i].x <= p[mid].x + ans)
			a[cnt++] = i;       //保存的是下标索引
	}
	sort(a , a + cnt , cmpy);   //按y坐标进行升序排序  
	for(i = 0 ; i < cnt ; ++i)
	{
		for(j = i+1 ; j < cnt ; ++j)
		{
			if(p[a[j]].y - p[a[i]].y >= ans)   //注意下标索引
				break;
			ans = min(ans , dis(p[a[i]] , p[a[j]]));
		}
	}
	return ans;
}
int main(void)
{
	int i,n;
	while(scanf("%d",&n) != EOF)
	{
		if(!n)
			break;
		for(i = 0 ; i < n ; ++i)
			scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
		sort(p , p + n , cmpx);
		printf("%.2lf\n",closest(0 , n - 1)/2);  
	}
	return 0;
}

按照y值进行升序排列后，还可以进一步进行优化的，就是每次选取7个点就OK了，具体原因编程之美上面有介绍的。

for(i = 0 ; i < cnt ; ++i)
	{
		int k = (i+7) > cnt ? cnt :(i+7);    //只要选取出7个点(证明过程没看懂)  
		for(j = i+1 ; j < k ; ++j)
		{
			if(p[a[j]].y - p[a[i]].y >= ans)   //注意下标索引
				break;
			ans = min(ans , dis(p[a[i]] , p[a[j]]));
		}
	}