矢量的凸包应用

矢量

定义

矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量 ——百度百科

把矢量放在坐标轴中，也就是

有方向的线段

就这么简单。

矢量表示法：$ab$
矢量长度：$|ab|$

运算

加法

平行四边形定则

我们有两个矢量$ab$、$ac$
它们俩这样关系：

构造个平行四边形
接下来我们用红色矢量来表示
$ab+ac$

三角形定则

同样是$ab$、$ac$

定义如上一个法则。

减法

减法？就是加一个负矢量。

数量积

由于与凸包无太大关系，这里先不详细讲述。
有兴趣可以参考百度百科

向量积

计算

从代数意义出发得：
定义点$a,b,c$。
$ab\times ac=（b_x-a_x）(c_y-a_y)-(c_x-a_x)(b_y-a_y)$

从几何意义出发得：
定义矢量$ab$
$ab\times ac=|a||b|\cdot sin\theta$

凸包

定义

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的凸组合来构造。
——百度百科

做法

枚举？！这个就不说了，时间复杂度$O(n^3)$
其实，我们可以用矢量来做。
根据刚刚的向量积，可以推导得到，如果$ab$在$ac$的逆时针方向，那么$ab\times ac<0$
如果是顺时针那么$ab\times ac>0$
如果共线则$ab\times ac=0$
那么，我们可以通过数值来判断两个共用一点的矢量的相对位置方向了。
于是，凸包就变成了这样

一级算法

找到最边缘的一个点，并且枚举一遍到其他点的矢量的极角θ，找到向量积<0且$|\theta |$最小的点。

如图，显然，蓝色矢量的极角最小。
像这样，每个点都枚举一遍，时间复杂度$O(n^2)$

二级算法

在一级算法的基础上，我们发现，有很多点重复地枚举，浪费时间。
所以，我们可以在此基础上进行栈优化。
优化后时间复杂度将达$O(n\ast log(n))$（Graham Scan Algorithm的时间复杂度）
然后还可以进行双向搜索优化，时间复杂度$O(n)$ （Andrew Algorithm的时间复杂度）。
由于篇幅有限，这里不详细讲述。请参考凸包专讲（同在凸包专题）。