波束形成算法学习笔记之二（固定波束形成）

麦克风阵列算法有两大类，一类是波束形成算法，另一类是盲源分离算法，两者互有优劣，先记录波束形成算法的笔记。系列博客先介绍两种常见麦克风阵列结构，然后分别介绍固定波束形成（fixed beamforming, data-independent) 和自适应波束形成（adaptive beamforming, data-dependent）。

波束形成的优缺点（Pros & Cons）

优点

• 波束形成的优点是可以利用空间信息做空间滤波（Spatial filtering）。
  以单麦克风降噪为例。单麦克风接收到的信号，无法分辨来波方向。对于噪声的抑制主要抑制平稳噪声。因为语音信号是非平稳的，如何准确区分非平稳的噪声和语音比较困难。麦克风阵列至少有两颗麦克风，能够一定程度的区分来波方向。对于非期望方向的干扰语音或者其他非平稳噪声可以线性地衰减。

缺点

• 波束形成算法的性能依赖目标信号的VAD信息。
  以GSC结构为例，MC的自适应噪声消除，其滤波系数更新依赖于这个VAD信息。只有当目标信号（有效语音）不存在时，才需要更新滤波器系数。否则会将有效语音消除掉。
• 波束形成算法的性能依赖目标信号的DOA信息。
  恶劣的声场环境，强噪声和长混响都会影响DOA算法的准确性。准确的DOA算法运算量很大。
• 如果目标信号和干扰信号在同一个波束内，是无法消除的。
  目标信号和干扰信号在同一个波束内，波束形成是无法分辨出它们的，空间滤波无法进行，自然无法消除。
• 长混响条件下，波束形成性能会下降。
  长混响，比如$T_{60}=300ms$，目标信号和干扰信号会相互泄露到对方的波束，空间滤波性能下降。原因同上。

麦克风的指向性（Directivity pattern of a microphone）

这里说的是麦克风的指向性，后面将要说的麦克风阵列的指向性，需要区分开。

• 麦克风的指向性是由麦克风的物理特性决定的，它描述了麦克风对特定来波方向的信号增益和相位移动。类似于时不变系统对信号的幅频响应和相频响应。
• 来波方向应该是一个三维的，有水平角（elevation angle）和俯仰角（azimuth angle）。为了简化问题，先只考虑二维的场景。
• 麦克风的指向性就可以用$H(\omega ,\theta )$ 表示，其中$\omega$表示频率,$\theta$表示角度。如下图所示，为某一特定频率${\omega }_0$的麦克风指向性$H({\omega }_0,\theta )$
  

信号模型和定义

假设信号都来自远场

• 麦克风接收到的信号响应，由两部分响应组成。一部分是麦克风的指向性，一部分是由麦克风位置决定的相位。
  $Y_m(\omega ,\theta )=H_m(\omega ,\theta )\ast exp(-j\omega {\tau }_m(\theta ))\ast S(\omega )$
  其中$H_m$是麦克风的指向性，${\tau }_m$是与麦克风位置相关的延迟，$S(\omega )$是原信号。
• 麦克风阵列接收到的信号，需要将上述信号($m=1,2...M$)用向量形式来表达。
  $Y(\omega ,\theta )=d(\omega ,\theta )\ast S(\omega )$
  $d(\omega ,\theta )=[H_1(\omega ,\theta )exp(-j\omega {\tau }_1(\theta ))...H_M(\omega ,\theta )exp(-j\omega {\tau }_M(\theta ))]$
  其中$d$是导向矢量(steering vector)，是由麦克风指向性和麦克风位置决定的。
• 如果所有的麦克风拥有同样的指向性，$H_0(\omega ,\theta )$，则导向矢量可以提取公因式。如果使用的是全指向性麦克风，则有$H_0(\omega ,\theta )=1$，导向矢量只由麦克风的位置决定。
  $d(\omega ,\theta )=H_0(\omega ,\theta )[1,exp(-j\omega {\tau }_2(\theta )),...,exp(-j\omega {\tau }_M(\theta ))]$
• 麦克风阵列的输出信号，经过滤波相加(filter-and-sum)之后，得到输出。
  $Z(\omega ,\theta )=F^H(\omega )Y(\omega ,\theta )=F^H(\omega )d(\omega ,\theta )S(\omega )$
  其中$F(\omega )$是滤波器系数。
• 阵列传递函数，英文可以是directivity pattern，也可以是transfer function，是等价的。
  $H(\omega ,\theta )=Z(\omega ,\theta )/S(\omega )=F^H(\omega )d(\omega ,\theta )$ (这里的共轭还没能理解是怎么推导的)

评价指标

麦克风阵列的性能主要用白噪声增益和指向性来评价。前者用来评价阵列在白噪声场景下的抑制能力，后者用来评价阵列在扩散场噪声下的阵列增益。其本质都是阵列增益，可以理解为输出信噪比除以输入信噪比，也可以表示为信号的传递函数$|{|}^2$除以噪声的传递函数$|{|}^2$。在表示噪声的输出函数之前，先引入噪声的相关矩阵和相干矩阵的概念，即noise correlation matrix 和 noise coherence matrix。

• 噪声相关矩阵 noise correlation matrix

• 噪声相干矩阵 noise coherence matrix
  白噪声的相干矩阵为单位阵，即${\Gamma }_{noise}^{white}(\omega )=I(\omega )$
  扩散噪声的相干矩阵可以用以下公式来表示${\Gamma }_{noise}^{diffuse}(\omega )=sinc(\omega f_{s}d/c)$

• 阵列增益函数 array gain
  $$G(\omega ,\theta )=\frac{SN{R}_{out}}{SN{R}_{in}}=\frac{|F^H(\omega )d(\omega ,\theta ){|}^2}{F^H(\omega ){\Gamma }_{noise}(\omega )F(\omega )}$$

• 白噪声增益 white noise gain
  因为白噪声的自相关矩阵是一个单位阵，即${\Gamma }_{noise}^{white}(\omega )=I(\omega )$
  $$WNG(\omega ,\theta )=\frac{|F^H(\omega )d(\omega ,\theta ){|}^2}{F^H(\omega )F(\omega )}$$

• 指向性 array directivity index
  $$DI(\omega ,\theta )=\frac{|F^H(\omega )d(\omega ,\theta ){|}^2}{F^H(\omega ){\Gamma }_{noise}^{diffuse}(\omega )F(\omega )}$$

最大化白噪声增益

最大化白噪声增益，即求出一组$F(\omega )$参数，使得白噪声增益最大。
$$F(\omega )=arg\{maxWNG(\omega ,\theta )\}=arg\{max\frac{|F^H(\omega )d(\omega ,\theta ){|}^2}{F^H(\omega )F(\omega )}\}$$
对于上式，有一个限制条件，分子是1。即对期望方向的信号增益是0dB。这样最大化问题就转变为最小化噪声输出功率的问题。
$$F(\omega )=arg\{min{F}^H(\omega )F(\omega )\},s.t.|F^H(\omega )d(\omega ,\varphi )|=1$$
得到最优解为
$$F(\omega )=\frac{d(\omega ,\varphi )}{|d(\omega ,\varphi ){|}^2}$$