二项式反演（学习笔记）
q w q qwq qwq机房最后一个学二项式反演的人
众所周知 二项式反演可以表示成
f n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i × C n i × g i ⟺ g n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i × C n i × f i f_n=\sum_{i=0}^n (-1)^i\times C_n^i\times g_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\times C_n^i \times f_i fn=i=0∑n(−1)i×Cni×gi⟺gn=i=0∑n(−1)i×Cni×fi
是一个极其对称的式子，常用表达是
f n = ∑ i = 0 n C n i × g i ⟺ g n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i × C n i × f i f_n=\sum_{i=0}^n C_n^i\times g_i\Longleftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\times C_n^i \times f_i fn=i=0∑nCni×gi⟺gn=i=0∑n(−1)n−i×Cni×fi
网上有很多很好的证明，比如这个博客，感觉容斥的证明比较形象
我就不写证明了（其实是懒得证
这里只写一些套路的做法和题目
恰好和至多的转换
如果要求 b l a b l a blabla blabla恰好有 k k k个 b l a b l a blabla blabla的时候，有时候会很难算，而求至多有 k k k个 b l a b l a blabla blabla的时候会很好算，最经典的就是错排问题，错排问题好像有递推，但二项式反演也是可以做的
设 f i f_i fi表示恰好的方案数， g i g_i gi表示至多的方案数，则有
g n = ∑ i = 0 n C n i × f i g_n=\sum_{i=0}^n C_n^i\times f_i gn=i=0∑nCni×fi
根据二项式反演有
f n = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i × C n i × g i f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\times C_n^i\times g_i fn=i=0∑n(−1)n−i×Cni×gi
然后 g i g_i gi一般在很短的时间内就可以方便求出，再用 g g g求 f f f就可以得到答案
例题：
hdu1465不容易系列之一
错排问题
设 f i f_i fi表示恰好有 i i i个错开， g i g_i gi表示至多有 i i i个错开， g i = i ！ g_i=i！ gi=i！，然后套上面那个公式就好了
代码如下：
#include恰好和至少的转换
同样有时候至少有 k k k个 b l a b l a blabla blabla的要更好求
设 f i f_i fi表示恰好的方案数， g i g_i gi表示至少的方案数，则有
g k = ∑ i = k n C i k × f i g_k=\sum_{i=k}^nC_i^k\times f_i gk=i=k∑nCik×fi
根据二项式反演有
f k = ∑ i = k n ( − 1 ) i − k × C i k × g i f_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\times C_i^k\times g_i fk=i=k∑n(−1)i−k×Cik×gi
例题：
bzoj3622: 已经没有什么好害怕的了
首先因为要求是 a > b a>b a>b多 k k k个，所以 a > b a>b a>b的应该有 n + k 2 \frac{n+k}{2} 2n+k个（千万别读错题
为了打着舒服设 f i f_i fi表示至少有 i i i个 a > b a>b a>b的方案数，这个不能直接算，所以考虑 d p dp dp，把 a , b a,b a,b从小到大排序，设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示前 i i i个至少有 j j j个 a > b a>b a>b的方案数，只需要算出来比当前 a [ i ] a[i] a[i]小的 b b b有多少个，再减一下前面用过的，式子就是 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − 1 ] × ( c n t [ i ] − j + 1 ) + f [ i − 1 ] [ j ] f[i][j]=f[i-1][j-1]\times (cnt[i]-j+1)+f[i-1][j] f[i][j]=f[i−1][j−1]×(cnt[i]−j+1)+f[i−1][j]
算出来以后再用 f [ n ] [ i ] f[n][i] f[n][i]带入上面的式子里去算最终恰好的答案
注意 f [ n ] [ i ] f[n][i] f[n][i]用的时候还要 × ( n − i ) ! \times (n-i)! ×(n−i)!，因为其他位置是随便放的
代码如下：
#includebzoj2839: 集合计数
首先还是设 f i f_i fi表示恰好交集有 i i i个元素的， g i g_i gi表示至少的，那么 g i = C n i × ( 2 2 n − i − 1 ) g_i=C_n^i\times (2^{2^{n-i}}-1) gi=Cni×(22n−i−1)
这里的含义就是钦定 i i i个必须选，剩下的可以选可以不选的有 2 n − i 2^{n-i} 2n−i个集合，这些集合可选可不选，但不能都不选，就有了上式
再套用上面的公式得出
f k = ∑ i = k n ( − 1 ) i − k × C i k × C n i × ( 2 2 n − i − 1 ) f_k=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}\times C_i^k\times C_n^i\times (2^{2^{n-i}}-1) fk=i=k∑n(−1)i−k×Cik×Cni×(22n−i−1)
O ( n ) O(n) O(n)计算即可，注意后面那个 2 2 n − i 2^{2^{n-i}} 22n−i貌似不能直接快速幂因为指数不能 m o d p \bmod p modp，要用 2 2 t = ( 2 2 t − 1 ) 2 2^{2^t}=(2^{2^{t-1}})^2 22t=(22t−1)2倒着枚举算
代码如下：
#include