积性函数总结，欧拉函数，莫比乌斯函数
积性函数
符号
( m , n ) \ (m,n) (m,n)最大公约数
[ m , n ] \ [m,n] [m,n]最小公倍数
m ∣ a ， m 整 除 a \ m|a，m整除a m∣a，m整除a
若无明确说明， p \ p p指素数
什么是积性函数
我们设数论函数 f ( x ) , 定 义 域 S , m , n ∈ S \ f(x),定义域S,m,n \in S f(x),定义域S,m,n∈S.
f ( m ) f ( n ) = f ( m n ) , ( m , n ) = 1 ⇒ f ( x ) 是 积 性 函 数 f ( m ) f ( n ) = f ( m n ) ⇒ f ( x ) 是 完 全 积 性 的 f(m)f(n)=f(mn)\, , \, (m,n)=1 \Rightarrow f(x)是积性函数 \\ \,\\\,\\ f(m)f(n)=f(mn) \Rightarrow f(x)是完全积性的 f(m)f(n)=f(mn),(m,n)=1⇒f(x)是积性函数f(m)f(n)=f(mn)⇒f(x)是完全积性的
可以证明有很多积性函数。例如：
f ( n ) = n k 完 全 积 性 f ( n ) = n − k 完 全 积 性 f ( n ) = e 2 π i a n m 仅 当 m ∣ a 时 积 性 f ( n ) = 1 完 全 积 性 f(n)=n^{k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,完全积性 \\ f(n)=n^{-k} \,\,\,\,\,\,\,\,\,完全积性 \\ f(n)=e^{2 \pi i a \frac{n}{m}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,仅当m|a时积性 \\ f(n)=1 完全积性 f(n)=nk完全积性f(n)=n−k完全积性f(n)=e2πiamn仅当m∣a时积性f(n)=1完全积性
定理
设 f ( n ) \ f(n) f(n)。
n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p r a r n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}} n=p1a1p2a2⋯prar
f ( 1 ) = 1 , f ( n ) = f ( p 1 a 1 ) f ( p 2 a 2 ) ⋯ f ( p r a r ) ⇔ f ( n ) 积 性 f(1)=1\,\,\,,\,\,\,f(n)=f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}}) \cdots f(p_{r}^{a_{r}}) \Leftrightarrow f(n)积性 f(1)=1,f(n)=f(p1a1)f(p2a2)⋯f(prar)⇔f(n)积性
f ( 1 ) = 1 , f ( n ) = f a 1 ( p 1 ) f a 2 ( p 2 ) ⋯ f a r ( p r ) ⇔ f ( n ) 完 全 积 性 f(1)=1 \,\,\,,\,\,\,f(n)=f^{a_{1}}(p_{1})f^{a_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}}(p_{r}) \Leftrightarrow f(n)完全积性 f(1)=1,f(n)=fa1(p1)fa2(p2)⋯far(pr)⇔f(n)完全积性
证明是显然的。
必要性
0 = ≠ f ( n 0 ) = f ( 1 ⋅ n 0 ) = f ( 1 ) ⋅ f ( n 0 ) 0 = \neq f(n_{0})=f(1 \cdot n_{0})=f(1) \cdot f(n_{0}) 0==f(n0)=f(1⋅n0)=f(1)⋅f(n0)
这就推出 f ( 1 ) = 1 \ f(1)=1 f(1)=1
其他可由积性函数的定义推出。
充分性
( m , n ) = 1 \ (m,n)=1 (m,n)=1
n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p s a s \ n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}} n=p1a1p2a2⋯psas
m = q 1 b 1 q 2 b 2 ⋯ q r a r \ m=q_{1}^{b_{1}}q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{r}^{a_{r}} m=q1b1q2b2⋯qrar
f ( m n ) = f ( q 1 b 1 q 2 b 2 ⋯ q r a r p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p s a s ) \ f(mn)=f(q_{1}^{b_{1}}q_{2}^{b_{2}} \cdots q_{r}^{a_{r}} p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}} ) f(mn)=f(q1b1q2b2⋯qrarp1a1p2a2⋯psas)
= f ( q 1 b 1 ) f ( q 2 b 2 ) ⋯ f ( q r a r ) f ( p 1 a 1 ) f ( p 2 a 2 ) ⋯ f ( p s a s ) \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f(q_{1}^{b_{1}})f(q_{2}^{b_{2}}) \cdots f(q_{r}^{a_{r}}) f(p_{1}^{a_{1}})f(p_{2}^{a_{2}}) \cdots f(p_{s}^{a_{s}}) =f(q1b1)f(q2b2)⋯f(qrar)f(p1a1)f(p2a2)⋯f(psas)
= f ( m ) f ( n ) \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f(m)f(n) =f(m)f(n)
这就证明了积性。
完全积性的证明也是类似的方法。
n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p s a r \ n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{r}} n=p1a1p2a2⋯psar
m = p 1 b 1 p 2 b 2 ⋯ p r b r \ m=p_{1}^{b_{1}}p_{2}^{b_{2}} \cdots p_{r}^{b_{r}} m=p1b1p2b2⋯prbr
f ( m n ) = f ( p 1 a 1 + b 1 p 2 a 2 + b 2 ⋯ p s a r + b r ) \ f(mn)=f(p_{1}^{a_{1}+b_{1}}p_{2}^{a_{2}+b_{2}} \cdots p_{s}^{a_{r}+b_{r}} ) f(mn)=f(p1a1+b1p2a2+b2⋯psar+br)
= f a 1 + b 1 ( p 1 ) f a 2 + b 2 ( p 2 ) ⋯ f a r + b r \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f^{a_{1}+b_{1}}(p_{1})f^{a_{2}+b_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}+b_{r}} =fa1+b1(p1)fa2+b2(p2)⋯far+br
= f a 1 ( p 1 ) f a 2 ( p 2 ) ⋯ f a r ( p r ) f b 1 ( p 1 ) f b 2 ( p 2 ) ⋯ f b r f ( p r ) \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=f^{a_{1}}(p_{1})f^{a_{2}}(p_{2}) \cdots f^{a_{r}}(p_{r})f^{b_{1}}(p_{1})f^{b_{2}}(p_{2}) \cdots f^{b_{r}}f(p_{r}) =fa1(p1)fa2(p2)⋯far(pr)fb1(p1)fb2(p2)⋯fbrf(pr)
= f ( n ) f ( m ) \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= f(n)f(m) =f(n)f(m)
重要积性函数 = = = = = ⇒ \ = = = = = \Rightarrow =====⇒欧拉函数
φ ( x ) \ \varphi(x) φ(x)，即欧拉函数，代表 1 − x \ 1-x 1−x中与 x \ x x互质的数的个数。
显然我们得到一个重要性质。
p ∈ Q ⇔ φ ( p ) = p − 1 p \in Q \Leftrightarrow \varphi(p)=p-1\\ p∈Q⇔φ(p)=p−1
定理
定理1
m = m 1 m 2 , ( m 1 , m 2 ) > 1 ⇒ φ ( m ) = m 2 φ ( m 1 ) = m 1 φ ( m 2 ) m = m 1 m 2 , ( m 1 , m 2 ) = 1 ⇒ φ ( m ) = φ ( m 1 ) φ ( m 2 ) m=m_{1}m_{2}\,\,\,,\,\,\,(m_{1},m_{2})>1 \Rightarrow \varphi(m)=m_{2} \varphi(m_{1})=m_{1} \varphi(m_{2}) \\ m=m_{1}m_{2}\,\,\,,\,\,\,(m_{1},m_{2})=1 \Rightarrow \varphi(m)=\varphi(m_{1}) \varphi(m_{2}) \\\, m=m1m2,(m1,m2)>1⇒φ(m)=m2φ(m1)=m1φ(m2)m=m1m2,(m1,m2)=1⇒φ(m)=φ(m1)φ(m2)
对于第一条 m 1 , m 2 \ m_{1},m_{2} m1,m2具有的素数种类相同
特别的，我们可以推出：
m = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p r a r a j > = 1 φ ( m ) = p 1 a 1 − 1 p 2 a 2 − 1 ⋯ p r a r − 1 φ ( p 1 p 2 ⋯ p r ) φ ( m ) = p 1 a 1 − 1 ( p 1 − 1 ) p 2 a 2 − 1 ( p 2 − 1 ) ⋯ p r a r − 1 ( p r − 1 ) = m ∏ p ∣ m ( 1 − 1 p ) ( 1 ) m=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}\,\,\,a_{j}>=1 \\ \varphi(m)=p_{1}^{a_{1}-1} p_{2}^{a_{2}-1} \cdots p_{r}^{a_{r}-1} \varphi(p_{1} p_{2} \cdots p_{r}) \\ \varphi(m)=p_{1}^{a_{1}-1}(p_{1}-1) p_{2}^{a_{2}-1}(p_{2}-1) \cdots p_{r}^{a_{r}-1}(p_{r}-1)=m \prod_{p|m} (1- \frac{1}{p}) \,\,\,\,\,\,(1) m=p1a1p2a2⋯praraj>=1φ(m)=p1a1−1p2a2−1⋯prar−1φ(p1p2⋯pr)φ(m)=p1a1−1(p1−1)p2a2−1(p2−1)⋯prar−1(pr−1)=mp∣m∏(1−p1)(1)
证明这个定理需要前置技能既约剩余系。（或者就记下来。）欧拉函数就是既约剩余系元素的个数。
形象的理解就是区间可以被分为很多分，如果区间数与区间长度不互质，那么每一个区间与 m \ m m互质的相等，否则就会有影响。
我们也可以用这个定理推出一点点小结论：
φ ( 1 ) = φ ( 2 ) = 1 \ \varphi(1)= \varphi(2)=1 φ(1)=φ(2)=1所以
2 ∣ φ ( m ) ⇒ m ≥ 3 2| \varphi(m) \Rightarrow m \ge 3 2∣φ(m)⇒m≥3
和
m = m 1 m 2 ⋯ m s , ( m i , m j ) = 1 , 0 ≤ i < j ≤ s ⇒ φ ( m ) = φ ( m 1 ) φ ( m 2 ) ⋯ φ ( m s ) ( 2 ) m=m_{1}m_{2} \cdots m_{s}\,\,\,,\,\,\,(m_{i},m_{j})=1\,\,\,,\,\,\,0 \le i < j \le s \\ \Rightarrow \varphi(m)= \varphi(m_{1}) \varphi(m_{2}) \cdots \varphi(m_{s})\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) m=m1m2⋯ms,(mi,mj)=1,0≤i<j≤s⇒φ(m)=φ(m1)φ(m2)⋯φ(ms)(2)
定理2
∑ d ∣ m φ ( d ) = m ; \sum_{d|m} \varphi(d)=m; d∣m∑φ(d)=m;
证明方法很多，现在给出一种证明方法：
m = 1 时 显 然 成 立 m=1时显然成立 m=1时显然成立
m > 1 m = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p r a r m>1 \\ m=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}} m>1m=p1a1p2a2⋯prar
∑ d ∣ m φ ( d ) = ∑ e 1 = 0 a 1 ∑ e 2 = 0 a 2 ⋯ ∑ e r a r φ ( p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p r e r ) \sum_{d|m} \varphi(d)=\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \cdots \sum_{e_{r}}^{a_{r}} \varphi(p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \cdots p_{r}^{e_{r}}) d∣m∑φ(d)=e1=0∑a1e2=0∑a2⋯er∑arφ(p1e1p2e2⋯prer)
利用 ( 2 ) \ (2) (2)式得：
∑ d ∣ m φ ( d ) = ( ∑ e 1 = 0 a 1 φ ( p 1 e 1 ) ) ( ∑ e 2 = 0 a 2 φ ( p 2 e 2 ) ) ⋯ ( ∑ e r = 0 a r φ ( p r e r ) ) \sum_{d|m} \varphi(d)=(\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \varphi(p_{1}^{e_{1}}))(\sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \varphi(p_{2}^{e _{2}})) \cdots (\sum_{e_{r}=0}^{a_{r}} \varphi(p_{r}^{e_{r}})) d∣m∑φ(d)=(e1=0∑a1φ(p1e1))(e2=0∑a2φ(p2e2))⋯(er=0∑arφ(prer))
又根据定理1
∑ e i = 0 a i φ ( p i e i ) = 1 + ( p − 1 ) + ( p 2 − p ) + ⋯ + ( p i a i − p i a i − 1 ) = p i a i \sum_{e_{i}=0}^{a_{i}} \varphi(p_{i}^{e_{i}})=1+(p-1)+(p^{2}-p)+ \cdots +(p_{i}^{a_{i}}-p_{i}^{a_{i}-1})=p_{i}^{a_{i}} ei=0∑aiφ(piei)=1+(p−1)+(p2−p)+⋯+(piai−piai−1)=piai
∑ d ∣ m φ ( d ) = ( ∑ e 1 = 0 a 1 φ ( p 1 e 1 ) ) ( ∑ e 2 = 0 a 2 φ ( p 2 e 2 ) ) ⋯ ( ∑ e r = 0 a r φ ( p r e r ) ) = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p r a r = m \sum_{d|m} \varphi(d)=(\sum_{e_{1}=0}^{a_{1}} \varphi(p_{1}^{e_{1}}))(\sum_{e_{2}=0}^{a_{2}} \varphi(p_{2}^{e _{2}})) \cdots (\sum_{e_{r}=0}^{a_{r}} \varphi(p_{r}^{e_{r}}))=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}=m d∣m∑φ(d)=(e1=0∑a1φ(p1e1))(e2=0∑a2φ(p2e2))⋯(er=0∑arφ(prer))=p1a1p2a2⋯prar=m
证毕
定理3
( a , m ) = 1 ⇒ a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) (a,m)=1 \Rightarrow a^{\varphi(m)} \equiv 1\pmod{m} (a,m)=1⇒aφ(m)≡1(modm)
特别的
a p ≡ a ( m o d m ) , p ∈ Q a^{p} \equiv a (mod \,\,m)\,\,\,,\,\,\,p \in Q ap≡a(modm),p∈Q
我们设一组既约剩余系 r 1 , r 2 , ⋯ r φ ( m ) \ r_{1},r_{2}, \cdots r_{\varphi(m)} r1,r2,⋯rφ(m)，当 ( a , m ) = 1 \ (a,m)=1 (a,m)=1， a r 1 , a r 2 , ⋯ a r φ ( m ) \ ar_{1},ar_{2}, \cdots ar_{ \varphi(m)} ar1,ar2,⋯arφ(m)也是一组既约剩余系。可以得到：
∏ j = 1 φ ( m ) r j ≡ ∏ j = 1 φ ( m ) ( a r j ) ≡ a φ ( m ) ∏ j = 1 φ ( m ) r j ( m o d m ) \prod_{j=1}^{\varphi(m)}r_{j} \equiv \prod_{j=1}^{\varphi(m)}(ar_{j}) \equiv a^{\varphi(m)}\prod_{j=1}^{\varphi(m)} r_{j}\pmod{m} j=1∏φ(m)rj≡j=1∏φ(m)(arj)≡aφ(m)j=1∏φ(m)rj(modm)
去掉 ∏ j = 1 φ ( m ) r j \ \prod_{j=1}^{\varphi(m)} r_{j} ∏j=1φ(m)rj得
1 ≡ a φ ( m ) ( m o d m ) 1 \equiv a^{\varphi(m)}\pmod{m} 1≡aφ(m)(modm)
证毕
我们在求逆元时就可以用这个公式：
a − 1 ≡ a φ ( m ) − 1 ( m o d m ) a^{-1} \equiv a^{\varphi(m)-1}\pmod{m} a−1≡aφ(m)−1(modm)
对此我们可以引入一个新的函数： δ m ( a ) \ \delta_{m}(a) δm(a)，读音delta。函数定义为最小的 d \ d d满足 a d ≡ 1 ( m o d m ) \ a^{d} \equiv 1 (mod \,\,m) ad≡1(modm)，这个函数不在此讨论。
欧拉函数及其重要定理暂时就这么多。
以上我们可以得出两种求欧拉函数的方法。
1.欧拉函数线性筛
即计算每一个素数对后面的影响。是线性筛出欧拉函数值的算法。
int n;
int phi[100100],prime[100100],tot=0,ans=0;
bool mark[100100];
void getphi(int n)
{
phi[1]=1;
int i=2,j=1;
while(i<=n)
{
if(!mark[i])
{
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
j=1;
while(j<=tot)
{
if(i*prime[j]>n) break;
mark[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
++j;
}
++i;
}
}
2.通项公式
求出一个数的素因子及其指数。
int gphi(int n)
{
int res=n,i=2;
while(i*i<=n)
{
if(n%i==0){
res=res-res/i;
do{
n/=i;
}while(n%i==0);
}
++i;
}
if(n>1) res=res-res/n;
return res;
}
重要积性函数 = = = = = ⇒ \ = = = = = \Rightarrow =====⇒莫比乌斯函数
μ ( x ) \ \mu(x) μ(x)即莫比乌斯函数。
μ ( x ) = { 1 , x = 1 ( − 1 ) r , x = p 1 p 2 ⋯ p r 0 , o t h e r s \mu (x)= \begin{cases} 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=1 \\ (-1)^{r},\,\,\,\,\,\,x=p_{1} p_{2} \cdots p_{r} \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,others \end{cases} μ(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1,x=1(−1)r,x=p1p2⋯pr0,others
可以证明：
( d 1 , d 2 ) = 1 \ (d_{1},d_{2})=1 (d1,d2)=1时， μ ( d 1 d 2 ) = μ ( d 1 ) μ ( d 2 ) \ \mu(d_{1}d_{2})=\mu(d_{1}) \mu(d_{2}) μ(d1d2)=μ(d1)μ(d2)
定理
定理1
∑ d ∣ m μ ( d ) = [ 1 n ] = { 1 , n = 1 0 , n = 0 \sum_{d|m} \mu(d)=\lbrack \frac{1}{n} \rbrack= \begin{cases} 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=1 \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n=0 \end{cases} d∣m∑μ(d)=[n1]={1,n=10,n=0
证明：
n = 1 \ n=1 n=1时显然成立。
n = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p s a s \ n=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}} n=p1a1p2a2⋯psas
根据定义，我们从中取一定数量的素数，答案是完全确定的。
∑ d ∣ m μ ( d ) = ( s 0 ) − ( s 1 ) + ( s 2 ) − ⋯ + ( − 1 ) s ( s s ) = ∑ i = 0 s ( − 1 ) i ( s i ) \sum_{d|m} \mu(d)= \binom{s}{0} - \binom{s}{1}+ \binom{s}{2} - \cdots +(-1)^{s} \binom{s}{s}= \sum_{i=0}^{s}(-1)^{i} \binom{s}{i} d∣m∑μ(d)=(0s)−(1s)+(2s)−⋯+(−1)s(ss)=i=0∑s(−1)i(is)
根据二项式定理：
( a + b ) s = ( s 0 ) a s + ( s 1 ) a s − 1 b 1 ⋯ + ( s s ) b s (a+b)^{s}=\binom{s}{0} a^{s}+\binom{s}{1} a^{s-1}b^{1} \cdots +\binom{s}{s} b^{s} (a+b)s=(0s)as+(1s)as−1b1⋯+(ss)bs
我们得到：
∑ d ∣ m μ ( d ) = ( 1 − 1 ) s = 0 \sum_{d|m} \mu(d)= (1-1)^{s}=0 d∣m∑μ(d)=(1−1)s=0
证毕
定理2
A \ A A是一个有限的整数序列， K \ K K是给定整数， A d \ A_{d} Ad表示 A \ A A中被 d \ d d整除的数组成的子序列。
K = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋯ p s a s \ K=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{s}^{a_{s}} K=p1a1p2a2⋯psas
∣ A d ∣ \ |A_{d}| ∣Ad∣表示这个子序列的长度。
在序列中与 K \ K K既约的个数。
S ( A ; K ) = ∑ a ∈ A , ( a , K ) = 1 1 = ∣ A ∣ − ∑ r = 1 s ( − 1 ) r ∑ i 1 = 1 s ∑ i 2 = 1 s ⋯ ∑ i r = 1 s ⏟ i 1 < i 2 < ⋯ < i r ∣ A p i 1 p i 2 ⋯ p i r ∣ S(A;K) = \sum_{a \in A,(a,K)=1}1 =|A|-\sum_{r=1}^{s} (-1)^{r} \underbrace{ \sum_{i_{1}=1}^{s} \sum_{i_{2}=1}^{s} \cdots \sum_{i_{r}=1}^{s}}_{i_{1}
证明：
由定理1得知：
∑ a ∈ A , ( a , K ) = 1 1 = ∑ a ∈ A ∑ d ∣ ( a , K ) μ ( d ) = ∑ d ∣ K μ ( d ) ∑ a ∈ A , d ∣ a 1 = ∑ d ∣ K μ ( d ) ∣ A d ∣ \sum_{a \in A,(a,K)=1}1=\sum_{a \in A} \sum_{d|(a,K)} \mu(d)=\sum_{d|K} \mu(d) \sum_{a \in A,d|a}1=\sum_{d|K} \mu(d)|A_{d}| a∈A,(a,K)=1∑1=a∈A∑d∣(a,K)∑μ(d)=d∣K∑μ(d)a∈A,d∣a∑1=d∣K∑μ(d)∣Ad∣
证毕
我们也可以得出两种求莫比乌斯函数的方法。
莫比乌斯函数线性筛
和欧拉筛一样，计算素数对后面的影响。
bool notp[100100];
int pnum,p[100100],n,u[100100];
void getmu(int n)
{
memset(notp,0,sizeof notp);
pnum=0;
u[1]=1;
int i=2,j=0;
while(i<=n)
{
if(!notp[i])
{
p[pnum++]=i;
u[i]=-1;
}
j=0;
while((j<pnum)&&(i*p[j]<=n))
{
int k=i*p[j];
notp[k]=1;
if(i%p[j]==0)
{
u[k]=0;
break;
}
u[k]=-u[i];
++j;
}
++i;
}
}
2.通项公式
int getmob(int a)
{
int x=a,tmp=a;
int cnt=0,now=0,j=2;
while(j*j<=x)
{
now=0;
if(x%j==0)
{
while(x%j==0)
{
++now;
x/=j;
}
if(now>1) return 0;
++cnt;
}
++j;
}
if(x!=1) ++cnt;
return (cnt&1 ) ? -1 : 1;
}
莫比乌斯函数以后还有大用，在莫比乌斯变换中用处很大。