点线面拓扑关系

一、基础知识

1.1 点线面的关系

主要有六大关系：点点关系、点线关系、点面关系、线线关系、线面关系、面面关系

	点	线	面
点	点/点
线	点/线	线/线
面	点/面	线/面	面/面

1.2 点线面的内部、边界、外部

I为内部（紫色部分）、B为边界（紫色部分）、E为外部（黑色部分）

（图片来源于https://wenku.baidu.com/view/81a008272bf90242a8956bec0975f46527d3a7e8.html）

注意：点和多点的边界为一个空集

1.3 8大拓扑关系

两两拓扑关系：相离（disjoint）、相接(meet)、相交(overlap)、相等(equal)、包含且边界相交(cover-by)、包含且边界不交(contains)、包含于且边界相交(cover)、包含于且边界不交(inside)。（好像表述有多种，不过实质是一致的）

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二、四交模型

2.1 前提：

• 交叉模型不包括的情况：几何目标不连通；几何目标不闭合

• 两两交集要么是空，要么是非空

2.2 定义

四交模型：将简单空间实体看作是边界点和内部点构成的集合，则4元组框架是由两个简单空间实体点集的**边界与边界的交集、边界与内部的交集、内部与边界的交集、内部与内部的交集构成的22矩阵，
公式如下：

理论上两两空间实体的关系会有2222=16种情况，实际上会出现不具有现实意义的情况，
如点点关系，因为点的边界为空集，所以只有两种点点关系、相离或者相等。

结论：四交模型下，2种点点关系、3种点线关系、3种点面关系、16种线线关系、13种线面关系、8种面面关系

2.3 四元组值对应的拓扑关系

2.4 问题

同一四元组值会对应多个不同的拓扑情况


（图片来源于https://wenku.baidu.com/view/6a4105157ed5360cba1aa8114431b90d6d858914.html）

因此，在四交模型的基础上，引入“外部”，构成九交模型

三. 九交模型

3.1 空间目标限定为

• 简单点（无大小、无形状）
• 简单线（不能够自交，且有两个不重合的边界点）
• 简单面（区域边界必须联通）

3.2 定义

九交模型：借鉴四交模型定义,有***边界与边界的交集、边界与内部的交集、边界与外部的交集、内部与边界的交集、内部与内部的交集、内部与外部的交集、外部与边界的交集、外部与内部的交集、外部与外部的交集构成的33矩阵

两两空间实体相交理论上会出现888=512种情况，实际上只有2种点点关系、3种点线关系、3种点面关系、33种线线关系、19种线面关系、8种面面关系。与四交模型相比，只是在线线关系、线面关系上能区分更多的情况。

与四交模型的关系，外部=区域（C）- 内部 - 边界，即公式可以转化为

这就解释了一些情况下，4元组与9元组效果相同

3.3 九元组对应的拓扑关系

面面

线面

线线

3.4 有待优化

• 空间目标简单，如线维非线性，面中有洞等情况时的判断
• 仅能描述拓扑关系，不能解决空间邻近、顺序关系的形式化描述和定义
  因此，在九交模型的基础上，就有很多变种。

四、 基于维数扩展的九交模型（DE-9IM,Dimensionally Extended 9 Intersection Model）

4.1、定义：

两两几何体的内部、边界、外部两两交集生成的一个混合维度的结合体集合X，假设dim(x)返回x中几何体最大维数，构成3*3矩阵。

4.2、维度的确定

相交部分的几何形状：

• 点：0维
• 线：1维
• 面：2维
  例如：
  

4.3 表述

只要两个几何体的空间关系符合模式矩阵表示的合理值[0,1,2]中的一个，则返回True.
例如：
相离，矩阵为“FFFF***”
重叠，矩阵为 “TTT”

4.4 工具

java包：JTS空间分析工具包，可下载](https://sourceforge.net/projects/jts-topo-suite/)
(包中包含lib和doc JTS Developer Guide.pdf 等)

C++：空间分析开源库GEOS，可参考https://www.cnblogs.com/geospatial/p/4204589.html

javaScript:
JSTS: https://github.com/bjornharrtell/jsts
Turf:http://turfjs.org/ https://github.com/Turfjs/turf

五、基于Voronoi图的九交模型

用每一个空间目标的“势力范围”作为其外部，势力范围的划分是根据Voronoi生成，

在这就不讨论Voronoi的生成。有兴趣可参考：

1. geotools中泰森多边形的生成https://www.cnblogs.com/lzugis/p/7224345.html
2. ARCGIS_创建泰森多边形http://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/tool-reference/analysis/create-thiessen-polygons.htm
3. MapGIS编辑泰森多边形https://malagis.com/mapgis-edited-thiessen-polygon.html
   

本文参考：
1、李成名, 陈军. 空间关系描述的9-交模型[J]. 武汉测绘科技大学学报, 1997, 22(3):207-211.
2、赵军喜, 孙庆辉, 张毅. GIS中几何对象之间的空间关系[J]. 测绘科学技术学报, 2002, 19(4):306-309.
3、司海棠. 基于Voronoi图的空间关系研究及应用[D]. 南京航空航天大学, 2009.