点线面拓扑关系

文章目录

    • @[toc] 一、基础知识
    • 1.1 点线面的关系
    • 1.2 点线面的内部、边界、外部
    • 1.3 8大拓扑关系
    • 二、四交模型
    • 2.1 前提:
    • 2.2 定义
    • 2.3 四元组值对应的拓扑关系
    • 2.4 问题
    • 三. 九交模型
    • 3.1 空间目标限定为
    • 3.2 定义
    • 3.3 九元组对应的拓扑关系
    • 3.4 有待优化
    • 四、 基于维数扩展的九交模型(DE-9IM,Dimensionally Extended 9 Intersection Model)
    • 4.1、定义:
    • 4.2、维度的确定
    • 4.3 表述
    • 4.4 工具
    • 五、基于Voronoi图的九交模型

一、基础知识

1.1 点线面的关系

主要有六大关系:点点关系、点线关系、点面关系、线线关系、线面关系、面面关系

线
点/点
线 点/线 线/线
点/面 线/面 面/面

1.2 点线面的内部、边界、外部

I为内部(紫色部分)、B为边界(紫色部分)、E为外部(黑色部分)
点线面拓扑关系_第1张图片
(图片来源于https://wenku.baidu.com/view/81a008272bf90242a8956bec0975f46527d3a7e8.html)

注意:点和多点的边界为一个空集

1.3 8大拓扑关系

两两拓扑关系:相离(disjoint)、相接(meet)、相交(overlap)、相等(equal)、包含且边界相交(cover-by)、包含且边界不交(contains)、包含于且边界相交(cover)、包含于且边界不交(inside)。(好像表述有多种,不过实质是一致的)
点线面拓扑关系_第2张图片


二、四交模型

2.1 前提:

  • 交叉模型不包括的情况:几何目标不连通;几何目标不闭合

点线面拓扑关系_第3张图片

  • 两两交集要么是空,要么是非空

2.2 定义

四交模型:将简单空间实体看作是边界点和内部点构成的集合,则4元组框架是由两个简单空间实体点集的**边界与边界的交集、边界与内部的交集、内部与边界的交集、内部与内部的交集构成的22矩阵,
公式如下:
这里写图片描述
理论上两两空间实体的关系会有2
2
2
2=16种情况,实际上会出现不具有现实意义的情况,
如点点关系,因为点的边界为空集,所以只有两种点点关系、相离或者相等。

结论:四交模型下,2种点点关系、3种点线关系、3种点面关系、16种线线关系、13种线面关系、8种面面关系

2.3 四元组值对应的拓扑关系

点线面拓扑关系_第4张图片

2.4 问题

同一四元组值会对应多个不同的拓扑情况
点线面拓扑关系_第5张图片
点线面拓扑关系_第6张图片
(图片来源于https://wenku.baidu.com/view/6a4105157ed5360cba1aa8114431b90d6d858914.html)

因此,在四交模型的基础上,引入“外部”,构成九交模型

三. 九交模型

3.1 空间目标限定为

  • 简单点(无大小、无形状)
  • 简单线(不能够自交,且有两个不重合的边界点)
  • 简单面(区域边界必须联通)

3.2 定义

九交模型:借鉴四交模型定义,有***边界与边界的交集、边界与内部的交集、边界与外部的交集、内部与边界的交集、内部与内部的交集、内部与外部的交集、外部与边界的交集、外部与内部的交集、外部与外部的交集构成的33矩阵
点线面拓扑关系_第7张图片
两两空间实体相交理论上会出现8
8
8=512种情况,实际上只有2种点点关系、3种点线关系、3种点面关系、33种线线关系、19种线面关系、8种面面关系。与四交模型相比,只是在线线关系、线面关系上能区分更多的情况。

与四交模型的关系,外部=区域(C)- 内部 - 边界,即公式可以转化为
点线面拓扑关系_第8张图片
这就解释了一些情况下,4元组与9元组效果相同

3.3 九元组对应的拓扑关系

面面
点线面拓扑关系_第9张图片
线面
点线面拓扑关系_第10张图片
线线
点线面拓扑关系_第11张图片

3.4 有待优化

  • 空间目标简单,如线维非线性,面中有洞等情况时的判断
  • 仅能描述拓扑关系,不能解决空间邻近、顺序关系的形式化描述和定义
    因此,在九交模型的基础上,就有很多变种。

四、 基于维数扩展的九交模型(DE-9IM,Dimensionally Extended 9 Intersection Model)

4.1、定义:

两两几何体的内部、边界、外部两两交集生成的一个混合维度的结合体集合X,假设dim(x)返回x中几何体最大维数,构成3*3矩阵。
点线面拓扑关系_第12张图片

4.2、维度的确定

相交部分的几何形状:

  • 点:0维
  • 线:1维
  • 面:2维
    例如:
    点线面拓扑关系_第13张图片

4.3 表述

只要两个几何体的空间关系符合模式矩阵表示的合理值[0,1,2]中的一个,则返回True.
例如:
相离,矩阵为“FFFF***”
重叠,矩阵为 “TTT
点线面拓扑关系_第14张图片

4.4 工具

java包:JTS空间分析工具包,可下载](https://sourceforge.net/projects/jts-topo-suite/)
(包中包含lib和doc JTS Developer Guide.pdf 等)

C++:空间分析开源库GEOS,可参考https://www.cnblogs.com/geospatial/p/4204589.html

javaScript:
JSTS: https://github.com/bjornharrtell/jsts
Turf:http://turfjs.org/ https://github.com/Turfjs/turf

五、基于Voronoi图的九交模型

用每一个空间目标的“势力范围”作为其外部,势力范围的划分是根据Voronoi生成,
点线面拓扑关系_第15张图片
在这就不讨论Voronoi的生成。有兴趣可参考:

  1. geotools中泰森多边形的生成https://www.cnblogs.com/lzugis/p/7224345.html
  2. ARCGIS_创建泰森多边形http://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/tool-reference/analysis/create-thiessen-polygons.htm
  3. MapGIS编辑泰森多边形https://malagis.com/mapgis-edited-thiessen-polygon.html
    这里写图片描述

本文参考:
1、李成名, 陈军. 空间关系描述的9-交模型[J]. 武汉测绘科技大学学报, 1997, 22(3):207-211.
2、赵军喜, 孙庆辉, 张毅. GIS中几何对象之间的空间关系[J]. 测绘科学技术学报, 2002, 19(4):306-309.
3、司海棠. 基于Voronoi图的空间关系研究及应用[D]. 南京航空航天大学, 2009.

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