P1072 Hankson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 c_1c1​ 和 c2c_2c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1 a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数x xx 满足：

1． xxx 和 a0a_0a0​ 的最大公约数是 a1a_1a1​；

2． xxx 和 b0b_0b0​ 的最小公倍数是b1 b_1b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数xxx。但稍加思索之后，他发现这样的xxx 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 xxx 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 nnn，表示有 nnn 组输入数据。接下来的n nn 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0,a1,b0,b1a_0,a_1,b_0,b_1a0​,a1​,b0​,b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0a_0a0​ 能被 a1a_1a1​ 整除，b1b_1b1​ 能被b0 b_0 b0​整除。

输出格式

共 nn n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。
对于每组数据：若不存在这样的 xxx，请输出 000；
若存在这样的x xx，请输出满足条件的x xx 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出 #1

6
2

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这个题可以推公式的，而且推公式的也不麻烦，推出来之后代码就很简单了

但是这里说一下不推公式的做法

gcd(x,a0)=a1; lcm(x,b0)=b1;
根据唯一分解定理，每一个数都可以分解为 x=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * p3 ^ a3…
这里的p1,p2,p3都是质数，a1,a2,a3也可以是0，是0的话相当于乘以1，

所以x可以分解为 x=p1 ^ x1 * p2 ^ x2 * p3 ^ x3…，a0=p1 ^ q1 * q2 ^ q2 * p3 ^ q3…
b0=p1 ^ s1 * p2 ^ s2 * p3 ^ s3…
gcd(x,a0)=a1=p1 ^ min(x1,p1) * p2 ^ min(x2,p2) * p3 ^ min(x3,p3)…
lcm(x,b0)=b1=p1 ^ max(x1,s1) * p2 ^ max(x2,s2) * p3 ^ max(x3,s3)…

所以，先求出质数，然后再对a0,a1,b0,b1进行质因子分解，用一个vector去存a0,a1,b0,b1的所有质因子，最后再进行遍历vector，然后每一个质因子的指数最多是31次方，所以，直接枚举

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+7;

LL prime[maxn],cnt;
bool st[maxn];
LL a0,a1,b0,b1;
vector<int> vv;
map<int,int> mp_a0,mp_a1,mp_b0,mp_b1;

void get_prime(int n)
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!st[i]) prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++)
		{
			st[prime[j]*i]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

void dive(LL x, map<int,int>& mp)
{
	for(int i=0;prime[i]<=x/prime[i];i++)
	{
		while(x%prime[i]==0)
		{
			vv.push_back(prime[i]);
			mp[prime[i]]++;
			x=x/prime[i];
		}
	}
	if(x>1) 
	{
		mp[x]++;
		vv.push_back(x);
	}
}


int main()
{
	get_prime(1<<16);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		LL res=1;
		vv.clear();mp_a0.clear(),mp_a1.clear(),mp_b0.clear(),mp_b1.clear();
		cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
		dive(a0,mp_a0);dive(a1,mp_a1);dive(b0,mp_b0);dive(b1,mp_b1);
	    sort(vv.begin(),vv.end());
    	vv.erase(unique(vv.begin(),vv.end()),vv.end());
		for(int j=0;j<vv.size();j++)
		{
			int t=vv[j];int ans=0;
			for(int i=0;i<=31;i++)
			{
			//	cout<
				if(min(i,mp_a0[t])==mp_a1[t] && max(i,mp_b0[t])==mp_b1[t]) ans++; 
			}
			res=res*ans;
		}
		cout<<res<<endl;
	 } 
	return 0;
 }