离散时间信号的傅里叶变换与频域分析

离散时间信号的傅里叶变换与频域分析

序列的傅里叶变换

• 定义
  现有一个连续时间信号$x_a(t)$,采样后的信号为$x_a(t)$,对应的频谱分别为$X_a(j\Omega )、X_a(j\Omega )$
  根据抽样定理，$X_a(j\Omega )$为$X_a(j\Omega )$的以采样频率为周期的周期延拓：
  $$X_a(j\Omega )=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{X}_a(j\Omega -jk{\Omega }_s)$$
  现在对$x_a(t)$进行傅里叶变换：
  $$X_a(j\Omega )=\sum _{-\infty }^{+\infty }{x}_a(nT)e^{-j\Omega nT}$$
  进行归一化处理，令采样周期T=1s，采样频率f=1Hz，${\Omega }_s=2\pi rad/s$，则$\omega =\frac{\Omega }{f_s}$，那么：
  $$X_a(e^{j\omega })=\sum _{-\infty }^{+\infty }{x}_a(n)e^{-j\omega n}$$
  $$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$
  $x_a(n)=x_a(nT)$，上式即为序列的傅里叶正变换和反变换。

• 性质

  • 线性：若$X_1(e^{j\omega })=FT[x_1(n)],X_2(e^{j\omega })=FT[x_2(n)]$,则有
    $FT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{X}_1(e^{j\omega })+b{X}_2(e^{j\omega })$

• 时移与频移：若$X(e^{j\omega })=FT[x(n)]$,则有
  $FT[x(n-n_0)]=e^{-j{\omega }_0}X(e^{j\omega })$
  $FT[e^{j{\omega }_{0}n}x(n)]=X[e^{j(\omega -{\omega }_0)}]$

  • 周期性：$X(e^{j\omega )}$是$w$的周期函数，周期为$2\pi$
  • 对称性：若$x(n)$满足$x(n)=x^{\ast }(-n)$则称$x(n)$为共轭对称序列，一般用$x_e(n)$表示；若$x(n)$满足$x(n)=-x^{\ast }(-n)$则称$x(n)$为共轭反对称序列，一般用$x_o(n)$表示。
    共轭对称序列实部为偶数，虚部为奇数；
    共轭反对称序列实部是奇数，虚部为偶数；
    任何序列都可以表示为一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和：
    $$x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$
    $$x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$
    $$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$
    对上式两边进行傅里叶变换，在频域中也有类似的结论：
    $$X_e(e^{j\omega })=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega })+X^{\ast }(e^{j\omega })]=X_R(e^{j\omega })$$
    $$X_o(e^{j\omega })=\frac{1}{2}[X(e^{j\omega })-X^{\ast }(e^{j\omega })]=X_I(e^{j\omega })$$
    $$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$
    其中$FT[x^{\ast }(-n)]={\sum }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)e^{-j\omega n}=[{\sum }_{-\infty }^{+\infty }x(-n)e^{j\omega n}{]}^{\ast }=X^{\ast }(e^{j\omega }),X_R(e^{e^{j\omega }})、X_I(e^{j\omega })$分别为x(n)实部与虚部（包括j）的傅里叶变换。
  • 时域卷积定理
    若$FT[x(n)]=X(e^{j\omega }),FT[h(n)]=H(e^{j\omega }),y(n)=x(n)\ast h(n)$,则：
    $$FT[y(n)]=X(e^{j\omega })H(e^{j\omega })$$
  • 频域卷积定理
    若$FT[x(n)]=X(e^{j\omega }),FT[h(n)]=H(e^{j\omega }),y(n)=x(n)h(n)$,则：
    $$FT[y(n)]=\frac{1}{2\pi }X(e^{j\omega })\ast H(e^{j\omega })$$
  • 帕塞瓦尔定理
    若$FT[x(n)]=X(e^{j\omega })$,则：
    $$\sum _{-\infty }^{+\infty }|x(n){|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{+\pi }|X(e^{j\omega }){|}^{2}d\omega$$

  序列的Z变换

  序列	Z变换	收敛域
  δ(n)	1	0≤|z|≤∞
  δ(n-k)	z-k	0≤|z|≤∞
  u(n)	1/(1-z-1)	|z|>1
  RN(n)	(1-z-N)/(1-z-1)	|z|>0
  nu(n)	z/(z-1)2	|z|>1
  anu(n)	z/(z-a)	|z|>|a|
  -anu(-n-1)	z/(z-a)	|z|<|a|