Reed Solomon纠删码

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纠删码是存储领域常用的数据冗余技术, 相比多副本复制而言, 纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性。 Reed Solomon Coding是存储领域常用的一种纠删码,它的基本原理如下: 给定n个数据块d1, d2,…, dn,n和一个正整数m, RS根据n个数据块生成m个校验块, c1, c2,…, cm。 对于任意的n和m, 从n个原始数据块和m 个校验块中任取n块就能解码出原始数据, 即RS最多容忍m个数据块或者校验块同时丢失(纠删码只能容忍数据丢失,无法容忍数据篡改,纠删码正是得名与此)。

编码原理

RS编码以word为编码和解码单位, 大的数据块拆分到字长为w的word(字长w取值一般为8或者16位),然后对word进行编解码。 所以数据块的编码原理与word编码原理没什么差别, 为论述方便, 后文中变量Di, Ci将代表一个word。
首先, 把输入数据视为向量D=(D1,D2,…, Dn), 编码后数据视为向量(D1, D2,…, Dn, C1, C2,.., Cm),RS编码可视为如图1所示矩阵运算。 下图最左边是编码矩阵, 矩阵上部是单位阵(n行n列),下边是vandermonde矩阵B(m行n列), vandermode矩阵如图2所示, 第i行,第j列的原数值为j^(i-1)。之所以采用vandermonde矩阵的原因是, RS数据恢复算法要求编码矩阵任意n*n子矩阵可逆。


图1: RS纠删码编码运算

数据恢复原理

RS最多能容忍m个删除错误。 数据恢复原理的过程如下:
(1)从编码矩阵中删去丢失数据块和丢失编码块对应行。 假设D1、C2丢失, 根据图1所示RS编码运算等式,我们得到如下B’以及等式。


图2:vandermode矩阵
(2)由于B‘是可逆的, 两边乘上B’逆矩阵。

(3)得到如下原始数据D的计算公式

(4)对D重新编码,得到丢失的校验码

矩阵求逆采用高斯消元法, 需要进行实数加减乘除四则运算,无法作用于字长为w的二进制数据。 为了解决这个问题, RS采用伽罗华群GF(2^w)中定义的四则运算法则。 GF(2^w)域有2^w个值, 每个值都对应一个低于w次的多项式, 这样域上的四则运算就转换为多项式空间的运算[2]。 GF(2^w)域中的加法就是XOR, 乘法比较特殊,需要维护两个大小为2^w -1的表格: log表gflog,反log表gfilog。

乘法公式: a * b = gfilog(gflog(a) + fglog(b)) % (2^w -1)

CRS(Cauchy Reed Solomon)

RS纠删码的计算代价较高, 瓶颈在于乘除法, 乘除法操作需要3次查表操作, 一次加(减)法操作, 一次条件判断,一次取模操作(可优化为一次条件判断和一次减法操作)。 CRS从两个方面优化RS性能
(1) 使用Cauchy编码矩阵, Cauchy编码矩阵的好处是求逆矩阵比较快
(2) 将GF(2^w)中的运算全部转换为XOR, 其中的数学原理比较复杂, 可参见文献[3]

小结

RS的特点:
(1)低冗余度,高可靠性。
(2) 数据恢复代价高。 丢失数据块或者编码块时, RS需要读取n个数据块和校验块才能恢复数据, 数据恢复效率也在一定程度上制约了RS的可靠性。
(3) 数据更新代价高。 数据更新相当于重新编码, 代价很高, 因此常常针对只读数据,或者冷数据。
(4) RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表, 通常只能采用16位或者8位字长,不能充分利用64位服务器的计算能力, 具体实现上可能要做一些优化。


其第i 行、第j 列可以表示为(αi)^(j-1)
参考文献:
[1]James S. Plank. Erasure Codes For Storage Application.
[2]James S. Plank. A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance in RAID-like Systems
[3]James S. Plank. Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-Tolerant Storage Applications

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