区间动态规划详解

前段时间遇到石子合并问题，看着题解A了，以为学会了区间DP，再次遇到能量项链这个问题的时候大脑还是一片空白，只能重新认识一下区间动态规划了。

翻过很多博客，基本上都是题解，真正对区间动态规划本身的讲解几乎没有，可能是我没找到吧。

 

区间动态规划，顾名思义，就是动态规划过程中求一个区间的最优解。通过将一个大的区间分为很多个小的区间，求其小区间的解，然后一个一个的组合成一个大的区间而得出最终解，有没有发现，这完全就是分治的思想。

 

动态规划三部曲：

1.状态：用dp[i][j]表示区间(i,j)的最优解

2.状态转移：

        最常见的写法：     dp[i][j]=max/min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+something)

        理解：区间（i，j）的最优解就等于 区间（i,j）   同 (i,k)和区间（k+1,j）合并后的值   比谁更优。

3.初始化：           dp[i][i]=0/other  (i=1->n)

     为什么这么做呢？很好理解，就是只包含自己本身的时候，也就是区间长度为1，值肯定是确定的。

 

怎么从小到大的合并区间呢？

有两种最常见的写法：

第一种：

 for(r=2;r<=n;r++)//r：区间右端点，l:区间左端点
        for(l=r-1;l>=1;l--)
            for(k=l;k

第二种：

for (int len=2;len<=n;len++)//len：长度 ,l：左区间断点，r：又区间端点
    for (int l=1;l+len-1<=n;l++) //保证(l,r)的长度为len，且不越界
    {
        int r=l+len-1;
        for (int k=l;k<=r;k++)
            dp[l][r]=max/min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+something)
    }

第一种是个人比较喜欢也是很容易想到的。理解起来很简单：遍历以r为终点，从1到r的所有子区间。

这种做法的一个好处就是dp[l][r]存的一定是r为右区间的每一步的最优解。

第二种是用的人数最多的。 理解：从区间长度为2--n，每次遍历固定长度的区间。比如，len=2时，遍历（1,2）（2,3）..（n-1,n）。这样也能遍历完所有的情况。

 

当然还有其他写法，例如：

    for (int len=1;len<=n;len++) //枚举长度
        for (int l=1;l

 思维都大同小异，只要保证是从小区间遍历到大区间就没问题。

 

再来看石子合并问题

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

输入输出格式

输入格式：

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

输出格式：

输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.

 

输入输出样例

输入样例#1：

4
4 5 9 4

输出样例#1： 

43
54

题解：

第一眼看上去就是个贪心问题，每次合并最大的两个，这么想就错了。

8 4 6 3 5   贪心的结果为62，而最优解为60

 

每次进行合并的时候合并一个区间。
设dp[i][j]为合并i-j区间的石子的最优方案即最小花费，用k去划分石子数去进行状态转移即可。

我们可以得到状态转移方程：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])

 

sum[i]表示前i个石子分数之和

#include
using namespace std;
int f1[220][220],f2[220][220];
int main()
{
    int n,i,j,k;
    int a[210];
    int sum[220]={0};
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i],a[i+n]=a[i];
    for(i=1;i<=n*2;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];


    for(int len=2;len<=n;len++)
    {
        for(i=1;i<=2*n-len+1;i++)
        {
            j=i+len-1;
            f1[i][j]=0x3f3f3f3f;
            f2[i][j]=0;
            for(k=i;kM) M=f2[i][i+n-1];
    }
    cout<

代码写的有点复杂了，完全可以少一点行数。

注意一个问题：

为什么最优解在dp[i][i+n-1]的位置呢？

这么理解：dp[i][j]为（i,j）的最有解，即每次把最优解保存在区间最右端。

比如： i=1 :  dp[1][n-1]为区间（1,n-1）的最优解

            i=2 :  dp[2][n+1]为区间（2,n+1）的最优解（此题为环形转链，总长度2n）

 

区间DP的经典问题很多，比如矩阵连乘、整数划分、凸多边形划分、多边形合并、能量项链

最难的点还是状态转移方程

 

那么最后有一个问题，咱不可能每次都看了题解才恍然大悟吧。

究竟什么情况下用到区间动态规划？或者说区间动态规划有哪些应用场景呢？

笔者水平有限，暂未习得精华，待深入后再回来补充。