http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506
四边行不等式:http://baike.baidu.com/link?url=lHOFq_58V-Qpz_nTDz7pP9xCeHnd062vNwVT830z4_aQoZxsCcRtac6CLzbPYLNImi5QAjF2k9ydjqdFf7wlh29GJffeyG8rUh-Y1c3xWRi0AKFNKSrtj3ZY7mtdp9n5W7M6BBjoINA-DdplWWEPSK#1
dp[i][j]表示第i--j堆合并成一堆的时候,所需的最小花费。
然后根据以前的,dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k + 1][j] + cost
那么我就要去找那个位置k。
能够证明的就是,cost满足四边形不等式。
我们设w[i][j]表示第i--j个数的和。
引用一下:
当函数w(i,j)满足 w(a,c)+w(b,d) <= w(b,c)+w(a,d) 且a<=b< c <=d 时,我们称w(i,j)满足
四边形不等式。。
关于这个,其实是绝对相等的,不是大于。
证明如下。设sum[i]表示1--i的和
那么上面的不等式变成:
左边:sum[c] - sum[a - 1] + sum[d] - sum[b - 1]
右边:sum[d] - sum[a - 1] + sum[c] - sum[b - 1];
是相等的。所以满足条件
当函数w(i, j)满足w(i', j) <= w(i, j'); i <= i' < j <= j' 时,称w关于关于区间包含关系单调。
这个很容易,画个图,很明显
于是有以下三个定理
定理一: 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
定理二:当定理一的条件满足时,让d[i,j]取最小值的k为K[i,j],则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j]
定理三:w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1]
由定理三知 判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关,所以 可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果 将O(n^3)转为O(n^2)
定理一: 如果w同时满足四边形不等式 和 决策单调性 ,则d也满足四边形不等式
定理二:当定理一的条件满足时,让d[i,j]取最小值的k为K[i,j],则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j]
定理三:w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1]
由定理三知 判断w是否为凸即判断 w[i,j+1]-w[i,j]的值随着i的增加是否递减
于是求K值的时候K[i,j]只和K[i+1,j] 和 K[i,j-1]有关,所以 可以以i-j递增为顺序递推各个状态值最终求得结果 将O(n^3)转为O(n^2)
#include#include #include #include #include #include #define IOS ios::sync_with_stdio(false) using namespace std; #define inf (0x3f3f3f3f) typedef long long int LL; #include #include #include #include <set> #include
今天看得lrj的书中介绍的 四边形优化 做个笔记,加强理解
最有代价用d[i,j]表示
d[i,j]=min{d[i,k-1]+d[k+1,j]}+w[i,j]
其中w[i,j]=sum[i,j]
四边形不等式
w[a,c]+w[b,d]<=w[b,c]+w[a,d](a决策单调性
w[i,j]<=w[i',j'] ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i
http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/08/02/2125242.html