（十）【自控原理】（线性系统的时域分析）二阶系统的时域响应

【自控原理专栏】

C 二阶系统的时域响应

什么是二阶系统？
以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
其结构图为：

其中K为系统的开环放大系数， T为时间常数。
传递函数可以由梅逊公式或以下式子得到：
$\frac{GH}{1+GH}$
系统的闭环传递函数为 ：

为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式

其中，$\zeta =\frac{1}{2\sqrt{TK}}$称为阻尼比；$w_n=\sqrt{\frac{K}{T}}$称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率）

$\zeta$和$w_n$是决定二阶系统动态特性的两个非常重要的参数，二阶系统的性能分析和描述，基本上是通过这两个体现其特征的结构参数来表示的。

系统的闭环特征方程为 ：

它的两个根为 ：

二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼 比 $\zeta$取值的不同而不同。

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C.a 二阶系统的单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数，则 系统输出响应的拉氏变换表达式为 ：

可以得到：

其中$s_1，s_2$是系统的闭环极点，因为当阻尼比$\zeta$属于不同取值范围时，二阶系统的闭环极点在s平面上的位置就不同，其时间响应也对应地有不同的运动规律。

C.a.a 过阻尼（$\zeta$ > 1 ）的情况

系统具有两个不相等的负实数极点 ：


两个不相等的负实数对应于s平面负实轴上的两个不等实极点，此时称该系统为过阻尼系统
零初始条件下：

稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升

• 单位阶跃响应曲线单调上升，既无超调，也无振荡。
• 单位阶跃响应的稳态分量与输入信号相同，因此无稳态误差

分析：当$\zeta >>1$时，由于极点$s_2$比$s_1$距虚轴远得多，故$e^{s_{2}t}$比$e^{s_{1}t}$衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。

C.a.b 临界阻尼 （$\zeta =1$）的情况

$s_{1,2}=-w_n\zeta$

零初始条件下：

• 系统的输出响应无超调、无振荡,由零开始单调上 升，最后达到稳态值1，不存在稳态误差。
• $\zeta =1$是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。

C.a.c欠阻尼（$0<\zeta <1$）的情况

$w_d=w_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$称为阻尼自振频率，此时该系统为欠阻尼系统。

零初始条件下：

系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增 大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为 $w_d$，它取决 于阻尼比$\zeta$和无阻尼自然频率$w_n$，若闭环极点远离实轴，则振荡频率大。衰减速度取决于$\zeta w_n$的大小,闭环极点远离虚轴，则衰减速度加快。此时系统工作在欠阻尼状态。输出响应 如图所示

C.a.d 无阻尼（ $\zeta =0$）的情况

该系统为无阻尼系统。
零初始条件下：

系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为$w_n$，而且响应曲线没有稳态，但又不发散，因此称为临界稳定。

C.a.e 二阶系统响应情况总结

从振荡程度看，$\zeta$越小，响应特性振荡 得越厉害，随着$\zeta$增大到一定程度，响 应特性变成单调上升。
从振荡程度看，$\zeta$越小，响应特性振荡 得越厉害，随着$\zeta$增大到一定程度，响 应特性变成单调上升。

结论：随着$\zeta$增大，振荡程度越来越小，过渡过程所需时间越长。综合考虑过渡过程 时间和振荡的程度，一般希望二阶系统工作在$\zeta =0.4～0.8$的欠阻尼状态，此时系统的过 渡过程时间比临界阻尼时更短，而且振荡特性也并不严重。 工程实际中，通常选取：

综上所述，不难看出频率 $w_n$和 $w_d$的物理意义。
$w_n$ ——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡。
$w_d$——阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。

根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不 同的特点。因此阻尼比 $\zeta$是二阶系统的重要特征参数。
若选取$w_{n}t$为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。

• $\zeta$越小，响应特性振荡得越厉害, 随着$\zeta$增大到一定程度，响应特性变成单调上升的。
• 系统无振荡时，以临界阻尼时过 渡过程的时间最短，此时，系统 具有最快的响应速度。
• 系统在欠阻尼状态时，若阻尼比 在0.4～0.8之间，则系统的过渡 过程时间比临界阻尼时更短，此 时振荡特性也并不严重。

ζ 一般希望二阶系统工作在$\zeta =0.40.8$的欠阻尼状态下， 通常选取$\zeta =\frac{1}{\sqrt{2}}$作为设计系统的依据。

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C.b 二阶系统瞬态性能指标

系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为

单位阶跃响应曲线：

接下来将讨论以下关系：

C.b.a 上升时间tr

响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。

要使系统响应速度加快，必须减小$t_r$，当阻尼比$\zeta$一定时，$w_n$必须增大；若$w_n$为固定值，则$\zeta$越小，$t_r$也越小。

C.b.b 峰值时间$t_p$

响应曲线C（t）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。


可见，当 阻尼比$\zeta$一定时，$w_n$越大，$t_p$越小，反应速度越快。由于$w_d$是闭环极点虚部的数值，$w_d$越大， 则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间$t_p$与闭环 极点到实轴的距离成反比。

C.b.c 超调量$\sigma$

在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值 之比称为超调量。

最大超调量Mp=$\sigma {|}_{c(\infty )}$
上式表明， $\sigma$只是$\zeta$的函数，与 $w_n$无 关，$\zeta$越小 ,则$\sigma$越大。当二阶系统的阻 尼比 $\zeta$确定后，即可求得对应的超调量 $\sigma$ 。

C.b.d 调节时间$t_s$

响应曲线到达并停留在稳态值的 $\pm 5\%$（或$\pm 2\%$ )误差范围内所 需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。

通常认为指数衰减到0.05或0.02时，过渡过程即结束

当$0<\zeta <0.900$时，调节时间$t_s$可以近似为：

可以近似认为调节时间与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系 统时，$\zeta$通常由要求的超调量所决定，而调节时间$t_s$则由自然振 荡频率 $w_n$ 所决定。即在不改变超调量的条件下，通过改变 $w_n$的值 可以改变调节时间。

C.b.e 振荡次数N

响应曲线在 0～ts时间内波动的次数称为振荡次数。

振荡次数只与阻尼比$\zeta$有关。

结论：
阻尼比$\zeta$和无阻尼自振频率 $w_n$是二阶系统两个重要特征参 数，它们对系统的性能具有决定性的影响。

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例题：

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C.c 二阶系统性能的改善

通过调整二阶系统的两个特征参数$\zeta$和$w_n$，可以改善系统的动态性能。

同样的方法计算不同KA情况下：

结论：

• $K_A$增大，$\sigma$增加，$t_p$减小，$t_r$不变（实部不变）。
• $K_A$减小，$t_p$增大，$t_r$增大，对于过阻尼时$t_s$增大，没有超调。

表明KA增大可以提高响应初期的快速性，超调量也随之增加；
但仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性。 要兼顾快速性和平稳性，需要采用校正装置。

改善二阶系统性能的方法：速度反馈控制和比例-微分控制

C.c.a 速度反馈控制

• $w_n^{\prime }=w_n，{\zeta }^{\prime }=\zeta +0.5w_n{K}_t$
• 加入速度反馈后，自然振荡频率未改变，阻尼比增大，则超调量减小。
• 系统的调节时间减小，系统的响应速度得到提升。

C.c.b 比例-微分控制

通过与二阶系统的典型传递函数进行比较，我们可以发现：
1 可以通过适当选择微分时间常数$T_d$，调整等效阻尼比${\zeta }^{\prime }$的大小。
2 比例微分控制可以不改变自振频率$w_n$，但可以增大系统的阻尼比，从而有效地抑制系统的振荡，减小超调量
3 系统虽然仍是二阶系统，但比典型的二阶系统多了一个零点（分子）。因此，比例微分控制的二阶系统又称为有零点的二阶系统。此时系统的性能指标无法直接应用在已建立的计算公式，需要通过输出响应来求解。

通过部分分式分解，这个有零点的二阶系统的单位阶跃响应$C(s)$可以分为两个分量：

两项合成后系统的总响应 $C(s)=C_1(s)+\frac{1}{z}s{C}_1(s)$

其时域表达式为：$c(t)=c_1(t)+\frac{1}{z}\frac{d{c}_1(t)}{dt}$

上式第一项对应于典型二阶系统的时间响应，第二项为第一项的微分附加项。由于这个附加项的存在，增加了时间响应中的高次谐波分量，提高了系统响应的快速性。

比例微分控制和速度反馈控制都可以改善系统的性能，提高系统的快速性，并适当降低超调量。接下来我们来讨论它们之间的差异：

$k_t=0.216$分别写出各自的开环传函，闭环传函，并比较他们的动态性能。

代入$k_t$

总结：

• 速度反馈通过改变系统闭环极点达到改善系统的目的，增大阻尼比从而减小超 调量；自然振荡频率不变从而减小调节时间。
• 典型二阶和比例微分不能直接进行比较，因为不仅闭环传递函数发生变化，而且闭环零点也不同。可以将比例微分和速度反馈进行比较，区别是比例微分带有 一个闭环零点，
• 闭环零点会使得系统的超调量增加，峰值时间减小，调节时间基本不变。

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