【Robust学习笔记】Inventory Management Based on Target-Oriented Robust Optimization

Abstract

Yun F L和 Chen W（2016）提出了目标导向的鲁棒优化方法，用于解决多产品、多周期且订单容量受限的库存管理问题。模型假设每个时期对每个产品的需求是一个不确定性集，它只依赖于一个参考值和需求的界限。模型的目标是找到使所有不确定性集的规模最大化的订货策略，从而使得集合中的所有需求实现时总成本低于预定成本目标。研究证明，对于问题的一个近似形式，静态决策规则是最优的，且明显减少了计算量。通过调整成本目标，最终的策略可以在期望成本和相关成本差异之间取得平衡。数值实验表明，该方法虽然只使用了有限的需求信息，但与传统的基于动态规划和随机规划的方法相比，依然具有较好的性能。更重要的是，如果传统方法假设需求分布不准确，本方法的性能将显著优于传统方法。此外，本文还通过来自不同行业的两个案例研究证明了方法的适用性。

Model

随机优化模型

给定随机需求${\tilde{\mathbf{d}}}_t$，目标是决策出一个订货策略 $x_t^i({\tilde{\mathbf{d}}}_{t-1})$，使得在所有周期内的期望成本最小化。

理论上，可以使用动态规划解决这个问题。

缺点：使用第动态规划方法来计算预期的总成本，需要知道需求分布，而通常这是未知的。

基于目标导向的鲁棒优化模型

对每个产品需求的随机变量 ${\tilde{d}}_t^i$，定义一个 可调整不确定集（ adjustable uncertainty set）：
$$D_t^i(\gamma ):=\{d_t^i|{\hat{d}}_t^i-\gamma {\underline{z}}_t^i\le d_t^i\le {\hat{d}}_t^i+\gamma {\bar{z}}_t^i\}$$
其中 ${\hat{d}}_t^i$ 是一个参考值， ${\underline{z}}_t^i,{\bar{z}}_t^i$ 和 $\gamma$ 是 不确定集的参数( uncertainty set paramete).

$${\mathbf{D}}_t^i(\gamma )=D_1^i(\gamma )\times D_2^i(\gamma )\times \cdots \times D_t^i(\gamma )$$ $${\mathbf{D}}_t(\gamma )={\mathbf{D}}_t^1(\gamma )\times {\mathbf{D}}_t^2(\gamma )\times \cdots {\mathbf{D}}_t^P(\gamma )$$

$\tau$：成本目标

模型的目标是： 确定一个补货策略，使所有可调整不确定性集的规模最大化，以便所有需求实现集将导致总成本不超过$\tau$. （Our goal is to determine a replenishment policy that maximizes the sizes of all the adjustable uncertainty sets such that all demand realizations from the sets will result in a total cost no more than $\tau$. ）

Target-oriented robust optimization (TRO) formulation for the inventory management problem:

优点：只需要一个参考值（例如，平均值）以及每个时期每个产品需求的支持集。此外，此方法只需要求解一个中等大小的混合整数线性规划，这大大减少了计算的复杂性。

A Static Rule

Target Coefficient

如何选择合适的成本目标 $\tau$？
定义 目标系数（ target coefficient）为：
$$\alpha :=\frac{\rho (1)-\tau }{\rho (1)-\rho (0)}$$
其中 $\rho (\gamma ),\gamma =0,1$ 可以通过解下面的混合整系数优化问题得到：

给定一个成本系数 $\alpha$， 对应的成本目标为 $\tau (\alpha )=(1-\alpha )\rho (1)+\alpha \rho (0)$。

Reference

Yun F L, Chen W. Inventory Management Based on Target-Oriented Robust Optimization. Management Science,2016,10(21).