Dijkstra算法正确性证明

问题：求图中点1到其他各点的最短距离

策略:

1. 把起点1放入初始集合Set中，从剩余的点中，选取到Set(此时Set中只有1个点)距离最近的点，并入集合Set中，
2. 从剩余的点中，找经过集合Set，到起点1的最短距离，将最短边并入Set集合
3. 依次循环，直到所有的边都并入Set

 

变量的命名：

Set={1,2,,,,,,x}      //已找到start（本例中是1点）到1,2,,,,,x的最短路径的点的集合Set

dist[u]：             //从start点开始，经过Set中的点，到u点的最短距离

short[u]:             //从start开始到u的全局最短路径（不一定经过Set中的点）

可知short[u] <= dist[u]

 

证明过程：

命题：算法进行到第k步时，Set中的每个节点Set_i的dist[Set_i]等于全局最短路径short[Set_i]

(第n步时，dist[n]=short[n]，此时找到点1到所有点的最短距离)

 

归纳基础：

　　k=1，Set={start_point} => dist[start_point] == short[start_point] ==0，命题正确

归纳假设：

　　第k步成立，则第k+1步成立

　　设k+1步选择了顶点v(v是剩余集合中，经过Set到start_point距离最近的点)

　　该顶点与Set中的u点相连， 想要证明dist[v] == short[v]

　　　　反证法:假设命题不正确，即：存在从起点start_point到点v的更短路径 L（绿色部分）为最短路径short[v]，

　　　　该路径经过集合中的最后一个点为last_point,经过未收录集合的点集 uncollected_point_set中的，任1个或者多个点到达v.

　　　　本例以单点y为例，多点同理:(v和last_point不可能直接相连，若直接相连，因为dist[v]最后一点经过u,且为最短,此时L必然>=dist[v]，不是更短路径)

　　　　此时 L == dist[y] + distance[y, v] == short[v]

　　　　由题意知，dist[v] <= dist[y]

　　　　=>   dist[v] <= L  == short[v]

　　　　dist[v]是相对于L更短的路径=>假设不成立，不存在更短的路径L为全局最短路径，第k+1步选择的点即为全局最短路 => 命题成立！