Dijkstra 简要证明

s 起点
d[v] ，v
集合S ： 存在与S中的顶点V都满足 d[v]=最短路径

1.正确性引理：
存在v点最短路径，s->… ->u->v,且u在S中，则当u点松弛v点后，d[v] 为最小值。

2.证明在dijkstra中选取的数组中最小的元素d[v]为该顶点的最短路径值
proof：
假设选取的最小数组元素不是最短路径值，存在路径s->….x->y->v 是最短路径,(x可能是起点s，y可能是顶点v)，且x在S集合中，y不在S集合中。根据正确性引理，d[y]是最短路径值，且d[y]<=d[v]。如果y是v点，d[y]=d[v]且是最短路径，与假设矛盾。如果y不是v点，显然d[y]绝对小于d[v]，那么d[v]就不是数组中最小的元素，与条件矛盾.