Java进阶篇：用位运算实现加、减、乘、除
首先明确原码、反码、补码的概念
计算机系统中，数值一律用补码来表示：因为补码可以使符号位和数值位统一处理，同时可以使减法按照加法来处理。
对补码做简单介绍：数值编码分为原码，反码，补码，符号位均为0正1负。
原码 -> 补码： 数值位取反加1
补码 -> 原码： 对该补码的数值位继续 取反加1
补码 的绝对值（称为真值）：正数的真值就是本身，负数的真值是各位（包括符号位）取反加1（即变成原码并把符号位取反）.
加法：
将一个整数用二进制表示，其加法运算就是：相异或（^）时，本位为1，进位为0；同为1时本位为0，进位为1；同为0时，本位进位均为0.
所以，不计进位的和为sum = a^b，进位就是c = a&b,(与sum相加时先左移一位，因为这是进位）。完成加法直到进位为0.
public static void main(String[] args) {
add(11, 12);
}
private static int add(Integer a, Integer b) {
Integer sum = a;
while (b != 0) {
//a与b无进位相加
sum = a ^ b;
b = (a & b) << 1;
a = sum;
}
return sum;
}
运算过程
a = 11 = 1011
b = 12 = 1100
1. sum = a ^ b = 1011 ^ 1100 = 00111
2. b = (a & b) << 1 = ( 1011 & 1100 ) << 1 = 10000
3. a = sum = 00111
4. b != 0
5. sum = a ^ b = 00111 ^ 10000 = 10111
6. b = (a & b) << 1 = ( 00111 & 10000 ) << 1 = 000000
7. a = sum = 10111
8. b == 0 break;
9. sum = 10111 = 23sum = a ^ b 应该很好理解，1 + 1 =0 ； 1 + 0 = 1 ； 0 + 0 = 0;
比较难理解的是 b = (a & b) << 1 ； a&b之后得到的就是进位情况，1011 & 1100 =》 1000 即 a+b 在最高为产生了进位，由于是进位给前一位，所以还需要左移一位。（看不懂就自己写两道题）
减法：
a-b = a+(-b) ，所以我们要先对b取相反数，再相加。求相反数就需要先将各位取反后+1；
5 -> 0....0101 -取反-> 1.....1010 -+1-> 1....1011 ->-5
取反后再用加法加起来即可。
/**
* 求相反数：将各位取反加一
*/
private static int negative(int num)
{
return add(~num, 1);
}
/**
* 减法
*/
private static int Minus(int a, int b) {
return add(a, negative(b));
}
乘法：
乘法：原理上还是通过加法计算。将b个a相加，注意下面实际的代码。
//乘法
private static int multi(int a, int b) {
//将乘数和被乘数都取绝对值
int multiplicand = a < 0 ? add(~a, 1) : a;
int multiplier = b < 0 ? add(~b, 1) : b;
int res = 0;
// 判断multiplier 任何数*0=0
while (multiplier != 0) {
//判断 multiplier 是不是 奇数
if ((multiplier & 1) != 0) {
// 如果是奇数 则加上一次multiplicand本身
res = add(res, multiplicand);
}
// multiplicand * 2
multiplicand <<= 1;
// multiplier / 2
multiplier >>>= 1;
}
//计算乘积的符号
if ((a ^ b) < 0) {
res = add(~res, 1);
}
return res;
}
debug跑两遍就能理解精髓，就是当 multiplier 是偶数时，则每次让 multiplicand * 2 直到 multiplier / 2 = 0时。当b时奇数是，先加上单独的那个 multiplicand，再重复 multiplier 为偶数的步骤。
我们举个例子
multiplicand=10， multiplier = 5 答案自然是50 。
我们来看看核心步骤
- multiplier 是奇数 则先加上当前的 multiplicand，res = 10；
- multiplicand << 1 = 20; multiplier >>> 1 = 2; (这里应该看出了一些感觉了)
- multiplier 是偶数 if为false，则 multiplicand << 1 = 40; multiplier>>>1 = 1;
- multiplier 是奇数 res + multiplicand = 50; multiplicand << 1 = 80 ; multiplier>>>1 = 0;
- 循环结束 res = 50；
正数除法：
计算机是一个二元的世界，所有的int型数据都可以用[2^0, 2^1,...,2^31]这样一组基来表示（int型最高31位）。
不难想到用除数的2^31,2^30,...,2^2,2^1,2^0倍尝试去减被除数，如果减得动，则把相应的倍数加到商中；如果减不动，则依次尝试更小的倍数。这样就可以快速逼近最终的结果。
private static int divide(int a,int b) {
// 先取被除数和除数的绝对值
int dividend = a > 0 ? a : add(~a, 1);
int divisor = b > 0 ? a : add(~b, 1);
int quotient = 0;// 商
int remainder = 0;// 余数
for(int i = 31; i >= 0; i--) {
// 比较dividend是否大于divisor的(1<>i)与divisor比较，
// 效果一样，但是可以避免因(divisor<> i) >= divisor) {
quotient = add(quotient, 1 << i);
dividend = minus(dividend, divisor << i);
}
}
// 确定商的符号
if((a ^ b) < 0){
// 如果除数和被除数异号，则商为负数
quotient = add(~quotient, 1);
}
// 确定余数符号
remainder = b > 0 ? dividend : add(~dividend, 1);
System.out.println("余数："+ remainder);
// 返回商
return quotient;
} 这个应该很好理解。