分治法之最近对问题

问题

n个点在二维平面内，求出所有点对的欧几里得距离最小的点对。

解析

在利用分治法思想解决此问题时，首先考虑将最近对问题进行分治，设计其分治策略。将集合S分成两个子集S1和S2，根据平衡子问题原则，每个子集中的点数大致都为n/2。这样分治后，最近点对将会出现三种情况：在S1中，在S2中或者最近点对分别在集合S1和S2中。利用递归分析法分别计算前两种情况，第三种方法另外分析。求解出三类子情况后，再合并三类情况，比较分析后输出三者中最小的距离。
在第三种情况中，包含两个点分别在中线的两端，已知前两种情况递归出最小距离为d，所以需要在[mid-d,mid+d]的区间内找出最小距离，与d比较，但是当出现特殊情况，如在该范围内出现的点数较多，该算法的复杂度会趋近于O(n^2),要对这种情况优化为常数级别的复杂度。
若（p,q）是q的最近点对，p在带域左半部分，则q点必在下图所示的d∗2d长方形上，而在该长方形上，最多只能由右边点集的6个点。每个点对之间的距离不小于d。

设计

1、根据点的y值和x值对S中的点排序。
2、找出中线L将S划分为SL和SR
3、将步骤2递归的应用解决SL和SR的最近点对问题，并令d=min(dL,dR)。
4、将L-d~L+d内的点以y值排序，找出最近6个点找出最短距离为d’。如果d’小于d，令d=d’，最后的d值就是答案。

分析

由公式

递推法推到时间复杂度O(nlogn)

源码

https://github.com/Geedhayb/Geed/blob/master/minDis.cpp