VaR and CVaR of Allais Paradox
本文是以 The Dao of Robustness 中的 Allias Paradox 为例子，整理一下在离散概率分布情况下 VaR 和 CVaR 的计算，加深对这两个指标的理解。
1. Allias悖论
有以下四种博彩：
A：确定赢 1 美金；
B：1%的概率一无所获，10%的概率赢 5 美金，89%的概率赢 1 美金；
C：89%的概率一无所获，11%的概率赢 1 美金；
D: 90%的概率一无所获，10%的概率赢 5 美金。
根据期望效用理论，可能的偏好关系是 A ≻ B , C ≻ D A\succ B, C\succ D A≻B,C≻D 或者 B ≻ A , D ≻ C B\succ A, D\succ C B≻A,D≻C，而无法推导出 A ≻ B , D ≻ C A\succ B, D\succ C A≻B,D≻C 或者 B ≻ A , C ≻ D B\succ A, C\succ D B≻A,C≻D.
2. VaR的计算
回忆VaR的定义: V a R P , ϵ ( r ~ ) = inf w { w ∣ P [ − r ~ ≤ w ] ≤ 1 − ϵ } VaR_{\mathbb{P},\epsilon}(\tilde{r}) = \inf_{w} \left\{w \big| \mathbb{P}[-\tilde{r}\leq w]\leq 1-\epsilon\right\} VaRP,ϵ(r~)=winf{w∣∣P[−r~≤w]≤1−ϵ} 以 B B B 的计算为例（考虑其损失 − r ~ -\tilde{r} −r~ 的分布）：
| − 5 -5 −5 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 |
|---|---|---|
| 0.1 | 0.89 | 0.01 |
计算可得(将分布值由低到高排序，然后反向计算其概率值的累加和)
V a R ϵ ( B ) = { 0 , ϵ < 0.01 − 1 , 0.01 ≤ ϵ < 0.9 − 5 , ϵ ≥ 0.9 VaR_{\epsilon}(B) = \begin{cases} 0, & \epsilon<0.01 \\ -1, & 0.01\leq\epsilon<0.9 \\ -5, & \epsilon\ge 0.9 \end{cases} VaRϵ(B)=⎩⎪⎨⎪⎧0,−1,−5,ϵ<0.010.01≤ϵ<0.9ϵ≥0.9 类似地可以推导出：
V a R ϵ ( A ) = − 1 VaR_{\epsilon}(A) =-1 VaRϵ(A)=−1 V a R ϵ ( C ) = { 0 , ϵ < 0.89 − 1 , ϵ ≥ 0.89 VaR_{\epsilon}(C) = \begin{cases} 0, & \epsilon<0.89 \\ -1, & \epsilon\ge0.89 \end{cases} VaRϵ(C)={0,−1,ϵ<0.89ϵ≥0.89 V a R ϵ ( D ) = { 0 , ϵ < 0.9 − 5 , ϵ ≥ 0.9 VaR_{\epsilon}(D) = \begin{cases} 0, & \epsilon<0.9 \\ -5, & \epsilon\ge 0.9 \end{cases} VaRϵ(D)={0,−5,ϵ<0.9ϵ≥0.9 进而可以推导原文中 Table 1 的偏好结果。
3. CVaR的计算
回忆CVaR的定义： C V a R P , ϵ ( r ~ ) = inf w { w + 1 ϵ E P ( [ − r ~ − w ] + ) } CVaR_{\mathbb{P},\epsilon}(\tilde{r}) = \inf_{w} \left\{w+\frac{1}{\epsilon}\mathbb{E}_{\mathbb{P}}([-\tilde{r}-w]^+)\right\} CVaRP,ϵ(r~)=winf{w+ϵ1EP([−r~−w]+)} 仍然以 B B B 的计算为例。令 f ϵ ( w ) = w + 1 ϵ E P ( [ − r ~ − w ] + ) f_{\epsilon}(w)=w+\frac{1}{\epsilon}\mathbb{E}_{\mathbb{P}}([-\tilde{r}-w]^+) fϵ(w)=w+ϵ1EP([−r~−w]+), 首先计算它们在几个support上的取值：
f ϵ ( − 5 ) = − 5 + 0.89 ∗ 4 + 0.01 ∗ 5 ϵ = − 5 + 3.61 ϵ f_{\epsilon}(-5)=-5+\frac{0.89*4+0.01*5}{\epsilon}=-5+\frac{3.61}{\epsilon} fϵ(−5)=−5+ϵ0.89∗4+0.01∗5=−5+ϵ3.61 f ϵ ( − 1 ) = − 1 + 0.01 ϵ , f ϵ ( 0 ) = 0 f_{\epsilon}(-1)=-1+\frac{0.01}{\epsilon}, \qquad f_{\epsilon}(0)=0 fϵ(−1)=−1+ϵ0.01,fϵ(0)=0 注意到： f ϵ ( w ) f_{\epsilon}(w) fϵ(w)的所有最小值必定在这些 support 中，所以 C V a R P , ϵ ( B ) = min { − 5 + 3.61 ϵ , − 1 + 0.01 ϵ , 0 } CVaR_{\mathbb{P},\epsilon}(B) =\min\{-5+\frac{3.61}{\epsilon}, -1+\frac{0.01}{\epsilon}, 0\} \qquad\qquad\quad\; CVaRP,ϵ(B)=min{−5+ϵ3.61,−1+ϵ0.01,0} = { − 5 + 3.61 ϵ , ϵ > 0.9 − 1 + 0.01 ϵ , 0.01 < ϵ ≤ 0.9 0 , ϵ ≤ 0.01 =\begin{cases} -5+\frac{3.61}{\epsilon}, & \epsilon>0.9 \\ -1+\frac{0.01}{\epsilon}, & 0.01<\epsilon\leq 0.9 \\ 0, & \epsilon\leq 0.01\end{cases} =⎩⎪⎨⎪⎧−5+ϵ3.61,−1+ϵ0.01,0,ϵ>0.90.01<ϵ≤0.9ϵ≤0.01 类似地
C V a R P , ϵ ( A ) = − 1 CVaR_{\mathbb{P},\epsilon}(A) =-1 CVaRP,ϵ(A)=−1 C V a R P , ϵ ( C ) = { − 1 + 0.89 ϵ , ϵ > 0.89 0 , ϵ ≤ 0.89 CVaR_{\mathbb{P},\epsilon}(C) =\begin{cases} -1+\frac{0.89}{\epsilon}, & \epsilon>0.89 \\ 0, & \epsilon\leq 0.89\end{cases} CVaRP,ϵ(C)={−1+ϵ0.89,0,ϵ>0.89ϵ≤0.89 C V a R P , ϵ ( D ) = { − 5 + 4.5 ϵ , ϵ > 0.9 0 , ϵ ≤ 0.9 CVaR_{\mathbb{P},\epsilon}(D) =\begin{cases} -5+\frac{4.5}{\epsilon}, & \epsilon>0.9 \\ 0, & \epsilon\leq 0.9\end{cases} CVaRP,ϵ(D)={−5+ϵ4.5,0,ϵ>0.9ϵ≤0.9 进而可以推导原文中 Table 2 的偏好结果。
4. 参考文献
Z. Long, M. Sim, M. Zhou, The Dao of Robustness