求最长有效匹配括号子串的长度（Longest Valid Parentheses）

题目描述：

Given a string containing just the characters’(’ and’)’, find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

For “(()”, the longest valid parentheses substring is”()”, which has length = 2.

Another example is “)()())”, where the longest valid parentheses substring is “()()”, which has length = 4.

翻译：

给定一个包含‘（’和‘）’的字符串，找出最长的有效括号匹配子串的长度。

解法1：

这道题可以用一维动态规划逆向求解。假设输入括号表达式为String s，维护一个长度为s.length的一维数组dp[]，数组元素初始化为0。 dp[i]表示从s[0]到s[i]包含s[i]的最长的有效匹配括号子串长度。则存在如下关系：
1. dp[0] = 0;
2. i从1->strlen(s)-1求dp[i]，并记录其最大值。若s[i] == ‘)’，则在s中从i开始到0计算dp[i]的值。这个计算分为两步，通过dp[i-1]进行的（注意dp[i -1]已经在上一步求解）：
(1). 在s中寻找从 i -1 结尾的有效括号匹配子串长度，即dp[i-1]，跳过这段有效的括号子串，查看前一个字符，其下标为 j = i-1-dp[i-1]。若 j 没有越界，并且s[j] == ‘(’，则 s[i … j]为有效括号匹配，dp[i] =dp[i-1] + 2。
(2). 在求得了s[i … j]的有效匹配长度之后，若 j -1 没有越界，则 dp[i] 的值还要加上从 j-1 结尾的最长有效匹配，即 dp[i] += dp[j-1]。

解法2：

这道题可以用一维动态规划逆向求解。假设输入括号表达式为String s，维护一个长度为s.length的一维数组dp[]，数组元素初始化为0。 dp[i]表示从s[i]到s[s.length - 1]包含s[i]的最长的有效匹配括号子串长度。则存在如下关系：
1. dp[s.length - 1] = 0;
2. i 从 strlen(s) - 2 -> 0逆向求dp[i]，并记录其最大值。若s[i] == ‘(‘，则在s中从i开始到 s.length - 1计算dp[i]的值。这个计算分为两步，通过dp[i + 1]进行的（注意dp[i + 1]已经在上一步求解）： ◦在s中寻找从i + 1开始的有效括号匹配子串长度，即dp[i + 1]，跳过这段有效的括号子串，查看下一个字符，其下标为j = i + 1 + dp[i + 1]。若j没有越界，并且s[j] == ‘)’，则s[i … j]为有效括号匹配，dp[i] =dp[i + 1] + 2。
◦在求得了s[i … j]的有效匹配长度之后，若j + 1没有越界，则dp[i]的值还要加上从j + 1开始的最长有效匹配，即dp[j + 1]。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;

char s[maxn];
int dp[maxn];

int solve1(int len, char s[]) {
    int Max = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++)
        dp[i] = 0;
    for(int i = 1; i < len; i++) {
        if(s[i] == ')') {
            int j = i-1-dp[i-1];
            if(j >= 0 && s[j] == '(') {
                dp[i] = dp[i-1] + 2;
                if(j-1 >= 0) 
                    dp[i] += dp[j-1];
            }
        }
        if(Max < dp[i]) Max = dp[i];
    }
    return Max;
}

int solve2(int len, char s[]) {
    int Max = 0;
    for(int i = 0; i < len; i++) 
        dp[i] = 0;
    for(int i = len-2; i >= 0; i--) {
        if(s[i] == '(') {
            int j = i + 1 + dp[i+1];
            if(j < len && s[j] == ')') {
                dp[i] += dp[i+1] + 2;
                if(j+1 < len)
                    dp[i] += dp[j+1];
            }
            if(Max < dp[i]) Max = dp[i];

        }
    }
    return Max;
}

int main(){
    while(~scanf("%s", s)){
        int len = strlen(s);
        printf("%d\n", solve1(len, s));
        printf("%d\n", solve2(len, s));
    }
    return 0;
}