01改变世界：没有计算器的日子怎么过——手动时期的计算工具

所谓计算机，顾名思义，就是用于计算的机器。诚然现在的计算机应用已经远远超出了计算本身，不论是电脑、平板、还是手机，我们天天靠着它们看电影、听音乐、交流感情，看似与计算已经毫无关系，但事实上最初计算机的诞生就是为了满足人们对数学计算的需求，而如今计算机这些强大功能的底层实现，也依旧靠的是数学计算，这也是为什么我们仍然保留着“计算机”这一称呼的原因吧。

那么首先就让我们愉快地从最原始的地方说起。当今世界范围内广泛使用的是电子计算机，“电子”这一前缀标明了计算机的实现方式，指依靠那些在原子核周围飞啊飞啊飞的电子们做成了计算机。现在人们早已习惯于集成电路、微处理器这类高科技产物，你也许会认为世界上第一台计算机就是1946年美国的那台电子计算机ENIAC，但事实远非如此，在人们能如此得心应手地利用电子之前，计算机早已经历了数百年甚至可以说数千年的发展。通过对从古至今计算设备的历史研究，科学家们基本认为，在电子计算机出现以前，计算设备的发展进程大致可以划分为三个阶段：手动时期、机械时期和机电时期。对应的计算机可以分别称为手工计算机（话说这个能叫计算机么）、机械计算机和机电计算机。（听着是不是很别扭啊，果然还是电子计算机最顺口哈。）

手动时期（远古时期~17世纪初）

手指

手指是人类（还有许多动物）与生俱来的计数工具，但在那个连语言都尚未出现的远古时期，尽管人们（猿们？）有着10根手指和10根脚趾，但最先还用不上，因为这些数对他们来说还是太大了，甚至可以说他们还没有明确的数的概念——在原始森林里，他们认识这棵树，也认识那棵树，唯独没有这是道旁第几棵树的概念，更没有某一范围内总共有多少棵数的概念。人类最初用身体的其他部位表示较小的数，比如用眼睛或耳朵表示2，然后才轮到手指。直到解放前，我国还有些文化发展比较迟缓的民族最多只能数到3或10，再往后数就数不清，只将其统称为“多”。在国外，澳大利亚、新几内亚和巴西的一些部落也没有定义2或3以上数字的名称。想来也是，在没有下意识计数的情况下，当有一两个人说你长得帅，你会记得有那么一两个人说你长得帅，而当有第三、第四人说你长得帅时，你的印象里一定是：好多人都说我长得帅^w^

但人类终究是要与较大的数打交道的，除了每天的吃喝拉撒，我们的祖先们渐渐需要面对打到了多少猎物、部落有多少人这样简单的统计问题。他们用上了手指乃至脚趾，但单纯的用“一根”表示1最多只能数到20，于是诞生了五花八门的手指计数方式。比如用右手表示个位、左手表示十位，这样最多就能表示到99。

右手表示个位数，左手表示十位数（图片来自《计算机技术发展史（一）》P17）

左右手并用可以表示到99（图片来自《计算机技术发展史（一）》P17）

进阶一点，可以用上手指的关节。摊开你的手，可以看到，拇指有2个关节，其他手指均有3个关节。具体如何表示，就可以发挥你的想象力了。比如用拇指和食指的关节（共5个）表示十位，用其他三个手指的关节（共9个）表示个位，单只手就可以表示到59，这种表示方法正是针对古巴比伦使用六十进制的一种假设。

再进阶一点，手指的弯曲、指关节的方向、甚至手势都可以用来表示更大的数，例如古代威尼斯的一种手指计数法，大家感受一下。（仔细一看，我第一个手势就做不出来……）

古威尼斯的一种手指计数法（图片来自《计算机技术发展史（一）》P20）

不得不感叹人类的智慧，在那个无法借助外部工具的时代，人们光靠手指就能计数到成百上千，甚至达到百万。现在我们也用手指，却基本只会从1数到10，折回来再从11数到20，以及一些表示6、8等特殊数字的简单手势。

然而仅仅能用手指表示数字并不稀奇，现在聋哑人使用的手语除了数还能表示无比丰富的含义，欲将手指称为计算工具，起码还要实现计算功能。手指确实可以进行一些简单的计算，而且不但能做加减还能做乘除，但通常只能计算特定范围内的数，往往还需要心算的配合。现在一些数学老师热衷于开发面向小朋友的手指速算法，确实比纯心算要快、要可靠，但仍然需要与口诀和简单的心算配合。而正是手指的这种局限性，促使着人类去寻求更先进的计算工具，一步步朝牛逼的电子计算机迈进。

石子什么的

用手指计数和计算的一个明显缺陷就是无法进行存储，只能显示一个当前数，而且为了记录一个数你的手指也不能一直那样摆着不是。人们最早借助的外物是一些极常见的石子、贝壳、小木棍等，比如可以在地上摆放对应数目的石子来表示圈养了多少猎物，宰杀了两头就从中取出两块石子，新狩猎到三头就往进添加三块石子，人就不需要时刻记着还剩多少头猎物。

聪明而富有信仰的古人们还会发明了一些有趣的摆法，一则美观，而则易于读数，比如美国南部印第安人将石子、木棍和箭结合使用，将21摆成万字符。

美国南部的印第安人将21摆成万字符（图片来自《从算盘到电脑》P27）

在这里，中华民族伟大的先人们就开始犀利了。古老而神秘的河图、洛书便是由石子计数演变而来，使用黑白两类石子，不但可以表示数字，还推演出高深的阴阳八卦，早已上升到哲学高度。

结绳

相信大家对“结绳记事”并不陌生，在绳上打结可以代表数字，这个方法在国内外皆有考证。传说波斯王派军远征时，命他的卫队留下来保卫耶兹德河上的桥60天，但士兵可能没那么聪明，如何计算天数呢？又不能像现在这样每天早上掏出手机看是几月几号。于是波斯王在皮条上打了60个结，嘱咐士兵每天解开一个，解完结就可以回家了。

与手指一样，结绳法并非只能用一个结表示1，结的打法、结与结之间的距离均可表示不同的数字，比如两个相邻的结表示20、双重结表示200。给绳子染上颜色，更能表示诸多其他含义，比如黄色表示玉米、红色表示武器。在秘鲁等国家甚至使用结绳法记录历史传说，这就是为什么我们常说“结绳记事”而不是“结绳记数”的原因吧。而正是由于结绳有着这样那样的丰富内涵，古时许多民族认为它神圣不可侵犯，需要有专人进行管理，没有权利的人随意打上或解开绳结会受到严厉的处罚。

错综复杂的绳结内涵丰富

结绳法除了记数和记事外，还能用于通讯、用作契约凭证，用途如此广泛，正是由于在文字诞生之前，比起表示数字，结绳更是一种表示文字的有效途径。然而结绳用于记事虽然稳定长久，但在计算方面似乎就无能就为力了，你总不能为了算个加减法在两三根绳上不停地打结、解结吧，累不死你。以最有名的秘鲁结绳法为例，在现存的一副16世纪左右的图画中可以看到，左下角有一个计算盘，在上面用玉米仁进行计算，而后将计算结果转换为绳结，可见结绳本身并没有计算功能，仅仅被用来记录数据。

秘鲁结绳法（图片来自《数学趣闻集锦（上）》P14）

筹码/算筹

呃，首先要说明一下，这里的筹码是指古人的一种计算工具，不是现在赌场里那玩意儿！

筹码（或称算筹、筹等）在国内外的应用也十分广泛，直到上世纪前四分之一时期仍有许多民族使用。不同文化中的筹码形状各异，有方形、长条形、圆形等等，制作材料也很丰富，如竹、木、骨、铁、玉、象牙等，凡能削出特定形状的硬物皆可为之。人们通过用刀在筹码上刻痕来实现记数，刀痕的数目、组合、深浅、部位，以及筹码本身的颜色、摆放的相对位置等均有不同含义。

两种不同类型的筹码（图片来自《计算机发展史》P27、28）

由于筹码制作简单、使用方便、易于保存，其用途非常之广泛，可以用作收据，甚至钱票。其中有一种债务筹码挺有创意，在筹码上刻上欠债金额，而后劈成两半，债务人和债权人各执一半，到算账时两半拼合，刀痕必须重合，铁证如山，篡改不得，都不需要像现在这样双方签字、摁手指什么的，真是既方便又实用。

相比前三类工具，筹码在计算能力上突飞猛进，方可谓一件比较完善的计算工具。爱沙尼亚有一种计算筹码与后来出现的计算尺略像，做成了可以相对移动的插销形式，可以进行快速计算，估计算是计算尺的鼻祖了。

说到这里，当然少不了我国古代简直独孤求败的筹算，最迟在春秋战国时期就已出现，古文中“运筹帷幄”“觥筹交错”等言皆出于此。所谓筹算，就是以算筹为工具，进行加减乘除四则运算，以及乘方、开方和其他代数运算的运算方法。纳尼！乘方？开方？！是的，你没有看错，而且远不止这些，筹算甚至能解方程（组）、求最大公约数和最小公倍数、计算圆周率、解同余式组、造高阶查分表等等，甚至还使用到负数等较为抽象的数字，比西方早出一百年甚至好几百年。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之使用筹算将圆周率精确到小数点后7位，这一精度保持了近千年，直到15世纪初才被打破。

筹算能达到如此高的水准，全靠一代代劳动人民和数学家的探索总结。他们以小木棒的组合摆放表示数字，依靠熟记于心的口诀进行运算，九九乘法表就是其一，现在人依然靠它进行乘除法心算。算筹，包括之后的算盘作为工具本身并不复杂，并没有太强大的功能，真正强大的是使用它们的算法。而为了在简单的工具上完成复杂的算法，必然需要进行许多机械式的重复步骤，久而久之熟能生巧。筹算熟练者，计算速度应该是比较可观的，沈括《梦溪笔谈》中有“运筹如飞，人眼不能逐”的描述，不知是否有夸张成分，但参考现在娴熟的算盘手，基本也能想象其景。

算筹以纵式与横式两种形式表示1~9（0则以留空表示），个位数用纵式，十位数用横式，百位数又用纵式，以此类推，间隔使用，正如《孙子算经》中的口诀所言：“一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”估计与现在许多地方使用间隔色一样是为了方便人眼区分吧。《夏侯阳算经》在其后又加了四句：“满位以上，五在上方，六不积算，五不单张。”指当数超过5，用一根放在上方的算筹表示5，像极了后来出现的算盘。不过算盘本来就是由算筹发展而来的，不像才怪咧。

算筹表示数字的形式

古人在进行筹算时，先将棍状的算筹从随身携带的算袋中取出，放到桌上、炕上或地上进行排布，跟现在在纸上打草稿有的一拼，算法也有相似之处。以《孙子算经》所记乘法为例，与现在的演算过程简直如出一辙。

筹算乘法示例（图片来自《我国古代算筹的应用》）

算筹如此强大，但也并不就意味着已经登峰造极了，随着数学家们推出越来越多牛逼的算法——什么重因法、身外加减法、求一法，听都没听说过——靠作为一堆小棍棍的算筹应付起来已经有点有心无力了。何况筹算时所用算筹数量庞大，表示单个数就可能用到5根，数多则致繁乱，三国时期魏国人管辂的《管氏地理指蒙》一书中甚至以筹喻乱：“形如投算，忧愁紊乱。”而且起初的算筹长约14厘米，摆个6（“丄”）就要占200平方厘米，可以想象，做稍微复杂一点的运算时得放多大一块面积。古人也意识到这个问题，逐步改短算筹，到宋元间缩至1~3寸，但面对大计算量的问题依然不好使。宋代马永卿《懒真子》一书就有言：“卜者出算子约百余，布地上，几长丈余。”这要算个东西简直要铺满客厅，还得满地爬，不仅是个脑力活，更是体力活，搞不好还容易闪着腰啊……

算盘

在手动计算时代，算盘称得上是件当之无愧的计算神器了，它的功能与算筹同样强大，因框架和算珠制成一体，携带和使用则比算筹方便得多，发展至元中后叶基本取代了算筹。

起初的算盘并不是今天这副模样的，它有一个逐步发展的过程，不同地区的算盘不尽相同，虽然大抵都是一个规格化的底盘，上有可移动或摆置的算筹，具体实现却花样层出，都是铺天盖地的智慧啊！这里就以我国的算盘为例，大家都比较熟悉。

阶段一：底盘为一个10行若干列的表格，形如棋盘，行号代表0~9，有多少列就可以表示多少位的数，通过在小方格中摆放筹码来表示数，国内外曾用过石子、贝壳、木块、金属块、果核等，这里统称为算珠。数的表示方法很简单，以笔者撰写该部分内容的日期150622（2015年6月22日）为例。

阶段二：使用两种颜色的算珠，算盘面积减小了一半。0~4用黄算珠，5~9用黑算珠表示，更像下棋了。

阶段三：以横梁为界，将算盘分为上下两部分，上面的一个算珠表示5，下面的一个算珠表示1，以算珠的位置和数目结合表示数字，不再区分颜色，形成了最终的算盘规格。

这种形式的算盘存在到八世纪（唐朝中期），到十世纪（唐朝后）即采用了目前木框木柱穿木珠的形式（当然任性一点金制、玉制的什么都有），此外当然还有一些非主流的算盘形式出现，从十七世纪（明末期）开始算盘就没再有何本质上的变化。

闪亮闪亮最闪亮的金算盘和玉算盘

想必大家都多少接触过算盘，此处就不赘述其使用方法了。就算没有接触过，你一定听说过“三下五除二”吧，这本是句珠算口诀：在某一位上加3时，如果下方珠子将超过4个，就需要拨下一个上方表示5的珠子并去除下方两个表示1的珠子，以“+5-2”代替“+3”。欲知更多知识，请自百度之。

算盘之所以能称为神器，是因为用它能解算古代所有的数学问题，古代中国学者甚至认为，只有当一个问题能用算盘求解时，这个问题才算是可解的。在我国研制第一颗原子弹时，计算机不够用，科学家们就打算盘，打出那原子弹爆炸时中心压力的正确数据！

要知道算盘用得熟练，计算速度可是相当给力的。在1946年日本东京的一场表演中，一位算盘手PK使用电动计算机（下一篇会提到的机械式计算器的一种）的美国军官时全盘胜出。就算你使用现在的电子计算器，在基本运算方面也敌不过熟练的算盘手，因为你按键的速度赶不上他们拨珠的速度。加上算盘出错的范围较小，因此在电子计算器称霸日常计算领域的今天，依然有不少人喜欢使用算盘。2013年12月4日，珠算成功申遗，被誉为中国的第五大发明。

但算盘的计算速度毕竟已经比不上计算器了，现在更多的是用于培养孩子的心算能力，调查发现，学习珠算的孩子心算能力比不学珠算的孩子强得多。后又出现了一项神技——珠心算，通过在脑海中浮现算盘影像的方式实现快速心算。今年3月13日的《最强大脑》节目中日本9岁神童辻洼凛音震撼全场，6172938×1203490分分钟，不对，秒秒钟写出答案，计算时手指快速搓动，靠的就是珠心算。

纳皮尔棒/纳皮尔筹

苏格兰伟大的数学家约翰·纳皮尔（John Napier）一生最大的成就估计就是对数了，在那个计算工具简陋的那个年代，对数的出现大大简化了乘除法的计算，因为使用对数，乘除就可以简化为加减。事实上，纳皮尔棒仅仅是当时纳皮尔为计算对数表而发明的辅助工具。

1617年，纳皮尔在《Rabdologiæ》（这单词是纳皮尔自己造的，个人认为可以翻译为“筹算法”）一书中介绍了三种计算工具，纳皮尔棒是其中最著名的一种。在之后的一两百年中相继出现了诸多纳皮尔棒的改良版本，它们使用起来都更方便更快捷，然并卵，人们不会记住第二个登上月球的人，这里只介绍纳皮尔的设计。

纳皮尔棒是一根根零散、独立的小棒，棒上密密麻麻印着什么呢？其实就是乘法表，每个小格都通过一根斜线划分成两部分，左上部分填十位数，右下部分填个位数，这样设计是由于采用了来自印度的gelosia乘法（或形象地称之为百叶窗乘法）。

使用时将所需的小棒并排放在一起进行计算，以笔者撰写该部分内容的时间（6月24日晚9点）为例，计算624×9，先将代表6、2、4的小棒并排放置。读出它们与9对应的那一行数，以斜线为界，对每一位进行相加，超过9时通过心算进行进位，很快得到最终结果5616。

多位数与多位数的相乘则是先将被乘数与乘数的每一位相乘，最后错位相加，如此纳皮尔棒便巧妙地把乘法化简为加法。而对过程稍一分析就不难发现，其原理其实十分简单，与我们现今用的笔算方法一致，皮纳尔棒主要是省去了背诵乘法表的功夫，连进位都仍需心算，但在进行大数的乘除时可以节省时间。另外，皮纳尔棒还可以用于开平方和开立方，与前面的10根小棒不同，另有专用的小棒，具体算法就不再深究了，感兴趣的朋友可移步维基娘。

补充知识：纳皮尔棒，英文Napier’s Bones或Napier’s Rods，Rod很明显是Rabdology的缩写，而之所以有Napier’s Bones之称是因为纳皮尔棒多由动物的骨、牙、角等制成，因为纳皮尔棒也有“纳皮尔骨筹”、“纳皮尔骨算筹”、甚至“皮纳尔的骨头”等叫法。

计算尺

借助纳皮尔的对数，人们可以将乘除法化简为加减法，具体操作时需要反复查阅对数表。举个简单的例子，计算8×16，先从对数表上查得8的对数3、16的对数4（以2为底），8×16便转换为3+4的计算，最后在对数表上找到7所对应的数128——便是最终结果。

为了简化这反复查表的过程，1620年，英国数学家埃德蒙·甘特（Edmund Gunter）将对数表刻在了尺上，使用时需要借助一个圆规。再以8×16为例，先将圆规两脚分别指向0和8的位置，而后保持圆规张角不变，平移使其左脚指向16的位置，此时右脚所指便是计算结果。

实际尺上1~2、2~4等之间都是有连续刻度的，这里偷懒只画出了关键刻度。

1622年左右，同样来自英国的数学家威廉·奥特雷德（William Oughtred）将两把甘特对数尺并排放置，通过相对滑动就实现了尺上示数的相加，不再需要圆规佐助，只要拉动一下就可以轻松得到乘除结果，如此一件方便实用的神器却过了整整两个世纪才流行起来。

奥特雷德计算尺的原理十分简单

与纳皮尔棒一样，计算尺在风靡时期也产生了众多升级版，除了可以进行乘除、开方等基本运算外，比例、倒数、正弦、余弦、正切等也不在话下。（神奇的是，计算尺不能做加减法，嗯，或者说加减法对计算尺来说太low了。）1850年，一个年仅19岁的法国炮兵中尉在计算尺上加上了游标，这一设计被一直沿用了下来。

直到上世纪六七十年代计算尺才被电子计算器所渐渐取代，许多那个年代过来的前辈们一定都亲身使用过，现在也仍能买到，只是不再流行。感兴趣的朋友也先别急着打开某宝，老外做了个虚拟计算尺的网站，提供了7种不同的计算尺任君玩耍。这里以笔者撰写该部分的时间（6月25日晚9点）为例，计算6.25×9，将中间滑尺的起始位置与上侧刻度6.25处对齐，将游标与滑尺刻度9处对其，此时游标所指上侧尺的刻度即为计算结果，因为精度有限，需要估读：56.1——与正确答案56.25存在误差，这也正是计算尺的一个缺点。

或者你是个DIYer，只需一张A4纸、一卷胶带、一支笔就可以自己动作制作一把，成就感满满~

打印该设计图分分钟DIY一把计算尺（图片来自《When Slide Rules Ruled》）

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转载于简书，作者逸之
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