数论（1）：素数

素数

我们说，如果存在一个整数 \(k\) ，使得 \(a = kd\) ，则称 \(d\) 整除 \(a\) ，记做 \(d \mid a\) ，称 \(a\) 是 \(d\) 的倍数，如果 \(d > 0\) ，称 \(d\) 是 \(a\) 的约数。特别地，任何整数都整除 \(0\) 。

显然大于 \(1\) 的正整数 \(a\) 可以被 \(1\) 和 \(a\) 整除，如果除此之外 \(a\) 没有其他的约数，则称 \(a\) 是素数，又称质数。任何一个大于 \(1\) 的整数如果不是素数，也就是有其他约数，就称为是合数。 \(1\) 既不是合数也不是素数。

素数计数函数：小于或等于 \(x\) 的素数的个数，用 \(\pi(x)\) 表示。随着 \(x\) 的增大，有这样的近似结果： \(\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}\)

素数判定

我们自然地会想到，如何用计算机来判断一个数是不是素数呢？

暴力做法

自然可以枚举从小到大的每个数看是否能整除

bool isPrime(a) {
  if (a < 2) return 0;
  for (int i = 2; i < a; ++i)
    if (a % i == 0) return 0;
  return 1;
}

这样做是十分稳妥了，但是真的有必要每个数都去判断吗？

很容易发现这样一个事实：如果 \(x\) 是 \(a\) 的约数，那么 \(\frac{a}{x}\) 也是 \(a\) 的约数。

这个结论告诉我们，对于每一对 \((x, \frac{a}{x} )\) ，只需要检验其中的一个就好了。为了方便起见，我们之考察每一对里面小的那个数。不难发现，所有这些较小数就是 \([1, \sqrt{a}]\) 这个区间里的数。

由于 \(1\) 肯定是约数，所以不检验它。

bool isPrime(a) {
  if (a < 2) return 0;
  for (int i = 2; i * i <= a; ++i)
    if (a % i) return 0;
  return 1;
}

Eratosthenes筛法

现在已经知道了单个数字如何去判断是否是素数，但对于区间判定呢？

熟悉我的博客的人应该知道以前我发布过 埃拉托斯特尼筛法 的详解blog。

但还是这里贴一下算法实现：

int Eratosthenes(int n) {
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; ++i) is_prime[i] = 1;
  is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;  // prime[p]是i,后置自增运算代表当前素数数量
      for (int j = i * i; j <= n;
           j += i)  // 因为从 2 到 i - 1 的倍数我们之前筛过了，这里直接从 i
                    // 的倍数开始，提高了运行速度
        is_prime[j] = 0;  //是i的倍数的均不是素数
    }
  }
  return p;
}

以上为 Eratosthenes 筛法 （埃拉托斯特尼筛法），时间复杂度是 \(O(n\log\log n)\) 。

线性筛法

以上做法仍有优化空间，我们发现这里面似乎会对某些数标记了很多次其为合数。有没有什么办法省掉无意义的步骤呢？

答案当然是：有！

如果能让每个合数都只被标记一次，那么时间复杂度就可以降到 \(O(n)\) 了

经典的Eratosthenes筛法，它可能对同一个质数筛去多次。那么如果用某种方法使得每个合数只被筛去一次就变成是线性的了。
不妨规定每个合数只用其最小的一个质因数去筛，这便是线性筛法了。

void euler_sieve(int n)
{
    totPrimes = 0;//质数数量
    memset(flag, 0, sizeof(flag));//最小质因子

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!flag[i])
            primes[totPrimes++] = i;//i是质数
        //给当前的数i乘上一个质因子
        for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) {
            flag[i*primes[j]] = true;
            //请仔细体会i % primes[j] == 0的含义。
            //利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次，所以是线性时间。
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

上面的这种 线性筛法 也称为 Euler 筛法 （欧拉筛法）。

Euler筛法的一个小证明：here

题外话：欧拉筛法可以求欧拉函数，这里就不展开了。

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说了这么久筛法，那到底筛法有什么用呢？

对于求约数个数、约数和能起很大作用！

筛法求约数个数

参考文章：Here

用 \(d_i\) 表示 \(i\) 的约数个数， \(num_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子出现次数。

约数个数定理

定理：若 \(n=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}\) 则 \(d_i=\prod_{i=1}^mc_i+1\) .

证明：我们知道 \(p_i^{c_i}\) 的约数有 \(p_i^0,p_i^1,\dots ,p_i^{c_i}\) 共 \(c_i+1\) 个，根据乘法原理， \(n\) 的约数个数就是 \(\prod_{i=1}^mc_i+1\) .

实现

因为 \(d_i\) 是积性函数，所以可以使用线性筛。

void pre() {
  d[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, d[i] = 2, num[i] = 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        num[i * p[j]] = num[i] + 1;
        d[i * p[j]] = d[i] / num[i * p[j]] * (num[i * p[j]] + 1);
        break;
      } else {
        num[i * p[j]] = 1;
        d[i * p[j]] = d[i] * 2;
      }
    }
  }
}

筛法求约数和

参考文章：Here

\(f_i\) 表示 \(i\) 的约数和， \(g_i\) 表示 \(i\) 的最小质因子的 \(p+p^1+p^2+\dots p^k\) .

void pre() {
  g[1] = f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (!v[i]) v[i] = 1, p[++tot] = i, g[i] = i + 1, f[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= tot && i <= n / p[j]; ++j) {
      v[p[j] * i] = 1;
      if (i % p[j] == 0) {
        g[i * p[j]] = g[i] * p[j] + 1;
        f[i * p[j]] = f[i] / g[i] * g[i * p[j]];
        break;
      } else {
        f[i * p[j]] = f[i] * f[p[j]];
        g[i * p[j]] = 1 + p[j];
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = (f[i - 1] + f[i]) % Mod;
}

反素数

定义

如果某个正整数 \(n\) 满足如下条件，则称为是反素数：
任何小于 \(n\) 的正数的约数个数都小于 \(n\) 的约数个数

注：注意区分 emirp ，它是用来表示从后向前写读是素数的数。

简介

（本段转载自 桃酱的算法笔记 ，原文戳 链接 ，已获得作者授权）

其实顾名思义，素数就是因子只有两个的数，那么反素数，就是因子最多的数（并且因子个数相同的时候值最小），所以反素数是相对于一个集合来说的。

我所理解的反素数定义就是，在一个集合中，因素最多并且值最小的数，就是反素数。

那么，如何来求解反素数呢？

首先，既然要求因子数，我首先想到的就是素因子分解。把 \(n\) 分解成 \(n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}}\) 的形式，其中 \(p\) 是素数， \(k\) 为他的指数。这样的话总因子个数就是 \((k_1+1) \times (k_2+1) \times (k_3+1) \cdots \times (k_n+1)\) 。

但是显然质因子分解的复杂度是很高的，并且前一个数的结果不能被后面利用。所以要换个方法。

我们来观察一下反素数的特点。

1. 反素数肯定是从 \(2\) 开始的连续素数的幂次形式的乘积。

2. 数值小的素数的幂次大于等于数值大的素数，即 \(n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{n}^{k_{n}}\) 中，有 \(k_1 \geq k_2 \geq k_3 \geq \cdots \geq k_n\)

解释：

1. 如果不是从 \(2\) 开始的连续素数，那么如果幂次不变，把素数变成数值更小的素数，那么此时因子个数不变，但是 \(n\) 的数值变小了。交换到从 \(2\) 开始的连续素数的时候 \(n\) 值最小。

2. 如果数值小的素数的幂次小于数值大的素数的幂，那么如果把这两个素数交换位置（幂次不变），那么所得的 \(n\) 因子数量不变，但是 \(n\) 的值变小。

另外还有两个问题，

1. 对于给定的 \(n\) ，要枚举到哪一个素数呢？

   最极端的情况大不了就是 \(n=p_{1}p_{2} \cdots p_{n}\) ，所以只要连续素数连乘到刚好小于等于 \(n\) 就可以的呢。再大了，连全都一次幂，都用不了，当然就是用不到的啦！

2. 我们要枚举到多少次幂呢？

   我们考虑一个极端情况，当我们最小的素数的某个幂次已经比所给的 \(n\) （的最大值）大的话，那么展开成其他的形式，最大幂次一定小于这个幂次。unsigned long long 的最大值是 2 的 64 次方，所以我这边习惯展开成 2 的 64 次方。

细节有了，那么我们具体如何具体实现呢？

我们可以把当前走到每一个素数前面的时候列举成一棵树的根节点，然后一层层的去找。找到什么时候停止呢？

1. 当前走到的数字已经大于我们想要的数字了

2. 当前枚举的因子已经用不到了（和 \(1\) 重复了嘻嘻嘻）

3. 当前因子大于我们想要的因子了

4. 当前因子正好是我们想要的因子（此时判断是否需要更新最小 \(ans\) ）

然后 dfs 里面不断一层一层枚举次数继续往下迭代就好啦~~

常见题型

求因子数一定的最小数

题目链接： https://codeforces.com/problemset/problem/27/E

对于这种题，我们只要以因子数为 dfs 的返回条件基准，不断更新找到的最小值就可以了

上代码：

#include 
#define ULL unsigned long long
#define INF ~0ULL
ULL p[16] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53};

ULL ans;
ULL n;

// depth: 当前在枚举第几个素数。num: 当前因子数。
// temp: 当前因子数量为 num
// 的时候的数值。up：上一个素数的幂，这次应该小于等于这个幂次嘛
void dfs(ULL depth, ULL temp, ULL num, ULL up) {
  if (num > n || depth >= 16) return;
  if (num == n && ans > temp) {
    ans = temp;
    return;
  }
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    if (temp / p[depth] > ans) break;
    dfs(depth + 1, temp = temp * p[depth], num * (i + 1), i);
  }
}

int main() {
  while (scanf("%llu", &n) != EOF) {
    ans = INF;
    dfs(0, 1, 1, 64);
    printf("%llu\n", ans);
  }
  return 0;
}

求 n 以内因子数最多的数

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1562

思路同上，只不过要改改 dfs 的返回条件。注意这样的题目的数据范围，我一开始用了 int，应该是溢出了，在循环里可能就出不来了就超时了。上代码，0ms 过。注释就没必要写了上面写的很清楚了。

#include 
#define ULL unsigned long long

int p[16] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53};
ULL n;
ULL ans, ans_num;  // ans 为 n 以内的最大反素数（会持续更新），ans_sum 为 ans
                   // 的因子数。

void dfs(int depth, ULL temp, ULL num, int up) {
  if (depth >= 16 || temp > n) return;
  if (num > ans_num) {
    ans = temp;
    ans_num = num;
  }
  if (num == ans_num && ans > temp) ans = temp;
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    if (temp * p[depth] > n) break;
    dfs(depth + 1, temp *= p[depth], num * (i + 1), i);
  }
  return;
}

int main() {
  while (scanf("%llu", &n) != EOF) {
    ans_num = 0;
    dfs(0, 1, 1, 60);
    printf("%llu\n", ans);
  }
  return 0;
}