从频域来分析PID控制器

PI控制器

PI控制器的传递函数描述如下：$$G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_{i}S}\right)$$

对系统$$G_c(s)=\frac{1}{5s+1}$$分别加入$P$控制器$G_1(s)=K_p$和$PI$控制器$G_2(S)=K_p\left(1+\frac{1}{T_{i}S}\right)$来比较控制性能(其中$K_p=5;K_i=1/3$)：

首先绘制各个环节的波德图：

$PI$控制器的波德图$G_2(s)$

加入$P$控制器的开环波德图$G(s)=G_1(s)G_c(s)$

加入$PI$控制器的开环波德图$G(s)=G_2(s)G_c(s)$

加入$P$控制器后的闭环系统波德图$G(s)=\frac{G_1(s)G_c(s)}{1+G_1(s)G_c(s)}$

加入$PI$控制器后的闭环系统波德图$G(s)=\frac{G_2(s)G_c(s)}{1+G_2(s)G_c(s)}$

$PI$控制器实际是一种滞后校正装置，具有一个位于$s=-\frac{K_i}{K_p}$的零点和位于$s=0$的极点，因此$PI$控制器特点是在零频率处有无穷大增益，这改善了系统的稳态特性(开环增益增加，稳态误差减小)，但是引入积分会使系统型别增加，从而使被校正系统的稳定性降低，甚至失稳；必须适当地选取$K_p$和$T_s$的值，使得系统有合适的瞬态响应；

同时可以看出，PI控制器相较于P控制器能使闭环系统有更大的带宽，这表明系统的动态性能会更好，从闭环波德图可以看出PI控制器在截止频率附件分量幅值有所放大，而P控制器没有，这会导致PI控制器有一些超调（如下图）。
P控制器的阶跃响应

P控制器的阶跃响应

值得注意的是，$PI$控制器有时可使系统对阶跃输入的响应呈现相当小的超调量，但此时其响应速度很低，这是因为具有低通特性的$PI$控制器对系统的高频分量进行衰减，使得系统的动态性能变差；引入积分作用能减小或消除稳态误差。适用于控制通道滞后小，负荷变化不太大，工艺上不允许有稳态误差的场合，如流量或压力的控制。

PD控制器

类似的，可以用同样的方法来分析PD控制器
$G_c(s)=K_p\left(1+T_{d}s\right)$$
未校正系统的开环波德图$G(s)=\frac{1}{s^2+\sqrt{2}s+1}$

PD控制器的波德图$G_c(s)=25(1+s)$

加入PD控制器后的开环波德图$G(s)G_c(s)=\frac{25(1+s)}{s^2+\sqrt{2}+1}$

PD可以看作是简化版的超前校正，$K_p$以满足系统稳态误差条件为依据来选取，转角频率$1/T_d$应选择在使相位超前发生在增益交界频率附近；但是当频率大于转角频率时，虽然相角裕度在增加但是校正装置的幅值将持续增加(PD控制器可看作高通滤波器),在高频段的幅值增加是不利于系统稳定的，因为它放大了可能存在于系统内部的高频噪声。而超前校正可以提供充分的相位超前，但是它在高频段的幅值增加比PD小得多，因此，超前校正优于PD；

PD控制引入了微分，会有超前控制作用，能使系统的稳定性增加，加快了控制过程，改善了控制质量。适用于时间滞后较大(相位延迟大)的场合，如加热炉控制。对于滞后很小和扰动作用频繁的系统，应尽可能避免使用微分作用。如同超前校正的作用一样，PD控制器可以改善系统瞬态响应性能，增加系统的稳定性，增加系统的带宽(快速性提高，动态性能变好)。

PID控制器

PID控制器是PI-PD控制的组合，是一种超前-滞后校正装置，PI-PD的作用发生在不同频段，PI控制作用发生在低频段(稳态特性)，PD控制作用发生在高频段(动态特性)，当系统既需要改善动态特性又需要改善稳态特性时，使用PID控制器。

可以使系统获得较高的控制质量，它适用于容量滞后大、负荷变化大、控制质量要求较高的场合，如反应器、聚合釜的温度控制和无人机位置姿态控制等。

注意：之前的博客中提到，只要闭环系统的带宽足够高，输出就能很好的跟随输入，这种说法是不严谨的；因为各个频率分量通过系统时，不仅仅是幅值有衰减，相位也存在延迟，如果相位延迟过多，信号重新叠加后也有可能和输入差别比较大。因此严谨的说法是：当相位延迟在一定范围内，截止频率越高，输出和输入就越接近。
所以，判断一个系统的性能需要综合考虑它的幅值裕度和相角裕度。