递归求解排队进电影院问题,附带JAVA代码
原题：
有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。
问： 有多少种排队方法 使得 每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱
注： 1美元=100美分
拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分 解题方法：
此题可以用递归方式求解，详细求解过程如下：
符合条件的情况必须是拥有1美元的人前方必须要有50美分的人来排队，要不然不可能找零开，即必须满足从头数50美分的人数大于1美元的人数.
我们直接求解符合条件的情况.我们先不考虑持有50美分的人的次序,仅考虑持有1美元的人的次序，最后的结果再乘以n! 就可以了.
可以转化为50美分的人已经排好,由持有1美元的人进行插空排列.
首先1美元的人是不可能插到队头的，所以可以插的空有n个.
定义一个函数f(n.m),这表示有n个1美元的人插m个空的方法数,这m个空是从队尾向前数的m个空的位置.
比如f(4,4)的求解
●1●2●3●4 黑点表示50美分的人,1234表示可以插的空
第一个空可以有0人,可以有1个人.但不可能有2个人及以上
1.当有1人的时候,这个位置4个人四选一,剩下的方式为f(3,3),故为4*f(3,3)
2.当没有的人的时候,则方式为f(4,3)
所以排列方式为f(4,4)=4*f(3,3)+f(4,3)=A(4)(0)*f(4,3)+A(4)(1)*f(3,3)
注:A(m)(n)在此表示m!/(m-n)! 如A(4)(2)表示4x3=12.A(5)(3)表示5x4x3=60.
再如:f(4,3)的求解
是四个人插后三个空,
● ●1●2●3 黑点表示50美分的人,123表示可以插的空
第一个空可以没人,可以1个人,可以2个人,但不能有3人及以上.
1.当有0人的时候,则只有四个人插后两个空了,即为f(4,2)
2.当有1人的时候,选其中1人,四选一,剩下的3人插2个空,方法数为4*f(3,2)
3.当有2人的时候,选其中的2人，四选二排列,剩下的2人插两个空,方法数为A(4)(2)*f(2,2)
所以排列方式为f(4,3)=f(4,2)+4*f(3,2)+A(4)(2)*f(2,2)=A(4)(0)*f(4,2)+A(4)(1)*f(3,2)+A(4,2)*f(2,2)
发现规律了吗?在此我们可以总结出递推式
所以最后的结果就简单了,我们再乘上50美分的人的全排列就是最后的结果了.
最后的答案即为A(n)(n)*f(n,n)
JAVA代码实现如下:
/*
* 排队问题求解
*/
import java.math.*;
public class Solve {
public static void main(String[] args) {
//n的值
int n =7;
//求得结果
System.out.println(getNumber(n,n).multiply(getResult(n,n)));
}
//即为f(n,m)函数实现
static BigInteger getNumber(int n,int m){
//当m=1返回Ann即n!
if(m==1) return getResult(n,n);
//初始化result=0
BigInteger result =new BigInteger("0");
for(int i=0;i<=n-m+1;i++){
//利用递归式子求解
result=result.add((getResult(n,i)).multiply(getNumber(n-i,m-1)));
}
return result;
}
static BigInteger getResult(int m,int n){
//求Amn
BigInteger result =new BigInteger("1");
int count=0;
//如果n为0,返回Am0即为1
if(n==0) return new BigInteger("1");
for(int i=m;;i--){
result =result.multiply(new BigInteger(""+i));
count++;
if(count==n) break;
}
return result;
}
}
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