一，1）求极限$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\sin x\right) ^{\dfrac {1}{x}}$.
2）$f(x) =\ln \left(x - \sqrt{1+x^2}\right) $ ，求 $f(0)^{(2k+1)}$，$ k$为自然数.
3）$f(x,y) = x^yy^x$,求$f(x,y)$的全微分.
二，计算下面积分
1）$\int_{-1}^{1} {\dfrac{1+x^2}{1+x^4}}dx$.
2）$\iiint _{V} {\dfrac{dxdydz}{(1+x+y+z)^{3}}}$，V={${x+y+z\leq{1}}, x,y,z\geq0$}.
3）$\oint_L{\dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}$,$L$是不过原点的简单封闭曲线.
三，1）判断$\sum_{n=1}^{\infty}\left({\sqrt[n]{n}-1}\right)^2$的敛散.
2）若$\sum_1^{\infty}a_n\sin^nx$在[0,$2\pi$]收敛，请问它是否一致收敛.
四，1）$f(x)$连续可微，$f(0)$不为$0$，其Maclaurin级数（Cauchy余项）：$f(x) = f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}\left(1-\theta\right)^nx^{n+1}$,
证明:$$\lim_{x\rightarrow0}\theta = 1-\sqrt [n]{\dfrac{1}{n+1}}.$$
2）$\{a_n\}$单调递减，$a_n\rightarrow0\left(当n\rightarrow0\right)$，证明：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛\leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}n\left(a_n-a_{n+1}\right)$$收敛。
3）$f(x,y)$在$R^2$连续，存在单射$g：R\rightarrow R^2，$使$f\circ g = C,C$为常数（记不太清楚）.
(南开2019高代倒数第二题)已知$x_1+x_2+\cdots+x_n=0,x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$,证明:
\[x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1\leq\cos\frac{2\pi}{n}.\]
\textbf{提示.}利用瑞利商(Rayleigh quotient)和矩阵特征值.著名数学家樊畿(Ky Fan)教授曾经写过文章介绍这一类问题,此不等式其实是傅里叶分析中Wirtinger不等式的离散形式,参考梅加强《数学分析》或者任一本傅里叶分析.
2019北大数学分析--回忆版
1.讨论数列\[a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\cdots+\sqrt[n]{(n-1)+\sqrt[n]{n}}}}\]的敛散性.
2.$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(a)=f(b)$.证明:存在数列$x_n\neq y_n,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(x_n-y_n)=0$且$f(x_n)=f(y_n),\forall n\in\textbf{N}^{\ast}$.
3.证明\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k\frac{1}{k+m+1}=\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC_m^k\frac{1}{k+n+1}.\]
4.求\[\int^1_0\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\cdot\ln x dx.\]
5.若$\prod\limits_{n=1}^{+\infty}(1+a_n)$收敛,则$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$收敛吗.命题为真请证明,为假举反例.
6.数列$\{x_n\}$有界,且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$,\[\varliminf_{n\rightarrow+\infty}x_n=l,\varlimsup_{n\rightarrow+\infty}x_n=L.\]证明$\forall c\in[l,L],$都有子列收敛于$c$.
7.$f(x)$定义在$[0,+\infty)$若$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$存在,且$f''(x)$有界.证明$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0$.
8.$p>0$,讨论级数\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin\frac{n\pi}{4}}{n^p+\sin\frac{n\pi}{4}}\]的绝对敛散性和条件敛散性.
9.求$f(x)=\dfrac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}$在$x=0$的Taylor展开式,并求$\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$.
10.证明$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}d x=\dfrac{\pi}{2}$,并求$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^2(xy)}{x^2}d x$.
2019北大高等代数——回忆版
这个是回忆的，所以可能有错误。如果有网友发现错误 ，请给我留言或直接回复，我会进行修改的，谢谢大家。
1.$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$是$\textbf{R}^n$上线性无关的列向量组,$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$是$\textbf{R}^s$上线性无关的列向量组.若有实数$c_{ij}$使得
\[\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{t}c_{ij}\alpha_i\beta_j^{T}=\textbf{0}.\]
证明系数$c_{ij}$全为0.
2.实数域上的3阶方阵$A$满足$AA^T=A^TA$,且$A\neq A^T$.
(1)证明存在正交矩阵$P$使得
\[P^TAP=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & -c & b \\
\end{pmatrix},\]
其中$a,b,c$都是实数.
(2)若$AA^T=A^TA=I_3$,且$|A|=1$.证明1是$A$的一个特征值,且求属于特征值1的特征向量.
3.$A$是复数域上的一个$n$阶方阵,$A$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.定义$M_n(\textbf{C})$上的变换$T$为
\[
\begin{split}
T:M_n(\textbf{C})&\longrightarrow M_n(\textbf{C})\\
B&\longmapsto AB-BA
\end{split}
\]
(1)求变换$T$的特征值;
(2)若$A$可对角化,证明$T$也可对角化.
4.$A$为$n$级实对称矩阵,令
\[S=\{X|X^TAX=0,X\in\textbf{R}^n.\}\]
(1)求$S$为$\textbf{R}^n$中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若$S$为$\textbf{R}^n$中的一个子空间,求$\dim S$.
5.给定任意实数$\varepsilon>0$,证明对任意的$n$阶实矩阵$A$,存在一个$n$阶对角矩阵$D$,每个对角元为$\varepsilon$或$-\varepsilon$中的一个,使得
\[|A+D|\neq0.\]
6.给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线.
7.在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面,证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.
8.证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.