整数拆分问题 ----递归法

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

    所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

    n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

    例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

    注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

    根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

    （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

    （2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

    （3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

        （b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

        因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    （4）当n

    （5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

        （a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

        （b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

        因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

    综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

    

代码实现：

#include
using namespace std;

int f(int n,int m)
{
     if(n<1||m<1)                //对于错误问题的处理
    {
         return -1;
    }
   
    if(n==1||m==1)
    {
        return 1;
    }
    else if(m>n)
    {
        return f(n,n);
    }
    else if(n==m)
    {
        return 1+f(n,n-1);
    }
    else
    {
        return f(n-m,m)+f(n,m-1);
    }

}

int main()
{
    cout<         <         <         <         <         <         <         <          <     ;
    return 0;
}

原文出处：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3503956.html

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