整数拆分问题 ----递归法

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

    所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

    n=m1+m2+m3+....+mi;(其中mi为正整数,并且1<=mi<=n),则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

    如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m,即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

    例如当n=4时,它有5个划分:{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1};

    注意:4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

    该问题是求出n的所有划分个数,即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。


(一)方法一——递归法

    根据n和m的关系,考虑下面几种情况:

    (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分,即{1};

    (2)当m=1时,不论n的值为多少(n>0),只有一种划分,即{1,1,....1,1,1};

    (3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

        (a)划分中包含n的情况,只有一个,即{n};

        (b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分;

        因此,f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

    (4)当n

    (5)当n>m时,根据划分中是否包含m,可以分为两种情况:

        (a)划分中包含m的情况,即{m,{x1,x2,x3,...,xi}},其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分个数为f(n-m, m);

        (b)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n, m - 1);

        因此,f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。


    综合以上各种情况,可以看出,上面的结论具有递归定义的特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,而情况(5)为通用情况,属于递归的方法,其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件,从而解决问题。

    其递归表达式如下所示。

    



代码实现:



#include
using namespace std;

int f(int n,int m)
{
     if(n<1||m<1)                //对于错误问题的处理
    {
         return -1;
    }
   
    if(n==1||m==1)
    {
        return 1;
    }
    else if(m>n)
    {
        return f(n,n);
    }
    else if(n==m)
    {
        return 1+f(n,n-1);
    }
    else
    {
        return f(n-m,m)+f(n,m-1);
    }

}

int main()
{
    cout<         <         <         <         <         <         <         <          <     ;
    return 0;
}



原文出处:http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3503956.html

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