第八章 向量代数与空间解析几何

第一节  向量与空间直角坐标系

1.空间向量：有  大小  和  方向的  量    。两要素：大小  和 方向     ，大小有称为模   。

2.空间向量的表示 ：用一个小写的粗体字母来表示 ，如   等等 ；   在向量   加上一个绝对值符号，记为   来表示向量的模 

3.向量的几何表示：常用一条有方向的线段来表示向量。 以点A为起点，B为终点表示的向量，通常记作：

4.有向量的定义，它只包含了大小和方向，而不包含起点信息，因此，这里的向量是 与起点无关的，即是自由向量 。它可以在三维空间中任意的平移。。 

5. 大小（模）为单位‘1’ 的向量，称为单位向量 。

6.模（大小）为零的向量称为 0向量  记作 ： ；  因其起点和终点重合，它的方向可以看作是任意的。 

7.向量夹角：

空间中的向量：

把它们平移到同一起点 ，则他们之间构成的角     称为   的夹角。  记作 

7.1  夹角的取值范围在 

7.2 夹角 的时候，称  平行，记作： 

7.3  夹角  称 ；即是  向量垂直 。

7.4  若向量  是同一起点的向量 ，或者把他们移动到同一起点 ，则两向量终点和起点在同一条直线上，这是向量  共线。 

7.5 向量共面：

同起点的任何两个向量确定了空间中的平面。三个以上的同起点的向量，它们的终点若在同一个平面内 ，则这些向量共面。

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8.向量是区别于标量，标量只有大小，如物体的质量 ； 向量既有大小又有方向，如物体的位移和移动速度。

9.向量的加法：

两个向量的加法运算满足三角形法则：

，仿照力学中平行四边形法则，向量的运算也满足平明四边形法则 。

三个以上的向量相加 ：

n个向量的和： :

使前一向量的终点 ，作为后一向量的起点，相继的做向量  ；再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量就是所求的和。即是

10.  向量的减法：

    , 即是向量的减法看作是  第一向量与第二向量的  负向量的和 。 

与已知向量方向相反的向量称为 已知向量的   负向量   记作：

11.  向量的运算满足：

交换律   ；   结合律       

12.  有向量的定义结合三角形的性质，可得不等式：

  前一等号，当a，b 同向的时候等式成立 ；  后一等号，当向量反向的时候等会哦啊成立 。 

13.  向量与数的乘法：

13.1  向量   是单位向量，即是模为 “1” 。   是与单位向量 e 同向的任意向量，则  是与单位向量e 和 a 同向的向量且其大小（模） 与 向量a 相同 ，即是   .两边同时乘以   , （也可以理解为同时除以 ,这是合理的。）得到 

                                           

即是，非零的向量同出一它的模，得到的结果是一个与原向量同向的单位向量。 

13.2             定理：任意  ， 为任意常数 。

14.   数轴： 规定了原点，方向和单位长度的一条只想成为数轴。

由于单位长度和方向可以用单位向量来表征，于是有，给定了单位向量和起点 就可以取定一条数轴 。 

在以o为原点的的数轴上的任一点p ，确定一个向量 ，根据上面定理 ，必有唯一的实数x 使得  

                                                   

     ,i 是单位向量。

结论： 1.数轴上的点   , 向量  ,实数   三者存在一 对一应关系：

                                               

            2 点p的坐标为 x   

==============空间直角坐标系

15.空间直角坐标系：

取定一个原点O，和三个两两相互垂直的单位向量，就取定了一个空间直角坐标系 ，如图： 

16.  人给的向量  ，总可以在空间直角坐标系中找到一个一点M，使得

                                                               (读作：向量OM 等于 向量小r)

17.向量的分解式：

根据三个向量的加法法则 ，和数轴的概念很容易得到 三维空间中向量

坐标分解式：

                                          

注意：空间中点M   和   向量r   和    有序的数对   （x，y，z）  之间有一 一对应的关系 。

向量也可以用坐标来表示(x,y,z)  ,就是说有序数组（x，y，z） 有时候可以表示向量 ，有时候可以表示坐标 ，根据上下文而定 。