关于一种求最大公约数的算法的分析与证明

    问题：请编写一个方法，功能是实现传入两个正整数，返回他们的最大公约数
    public static int math(int a, int b) {
    　　...
　　}

　　分析： 关于这道题的算法有多种，我们今天只研究下面这种算法：

    public static int math(int a, int b) {
　　       int hold = 0;
　　       while (b != 0) {
　　           hold = a % b;
　　           a = b;
　　          b = hold;
　　      }
　　       return a;
　　}

　　初看这个解法，你可能会一头雾水。再看看，更是不知所云。甚至怀疑这样算是不是可 以得到正确结果，但经过测试你会发现的确可以得到正确结果，这究竟是为什么呢？让我们 来分析一下这个算法，为了便于叙述，把行号加上：
　　第 1 行，程序调用这个方法时会传入两个正整数 a 和 b
　　第 2 行，声明一个 int 类型的变量 hold 并赋初值 0；第 3-7 行是一个 while 循环，循环条件是 b!=0；
　　第 4 行，用 hold 来保存 a%b 的结果
　　第 5 行，把 b 的值赋给 a
　　第 6 行，把 hold 的值赋给 b
　　若 b 不为 0，则进行下一次循环，直到 b=0 时停止循环
　　最后第 8 行把 a 的值返回。
　　首先我们假设程序只进行一次循环，也就是说：方法传入 a 和 b 时
　　第 4 行，hold=a%b=0；
　　第 5 行，a=b；
　　第 6 行，b=hold=0；再进行第 3 行判断循环停止
　　第 8 行，返回 a 的值，也就是第 5 行中方法开始时传入的 b 的值，这说明： 如果 a%b=0 那么 a 和 b 的最大公约数就为 b，
　　这点好理解，a%b=0 也就是说 a 能被 b 整除，那当然 a 和 b 的最大公约数就是 b 了。 关键是如果不是进行一次，而是进行多次循环呢？
　　为了便与理解，我把上面的程序改为递归算法：
　　

    public static int math1(int a, int b) {
　　       if (b == 0) {
　　           return a;
　　       }
　　       int hold = a % b;
　　       a = b;
　　       b = hold;
　　       return math1(a, b);
　　   }

　　第 1 行，程序调用这个方法时传入两个正整数 a 和 b
　　第 2－4 行，如果 b 等于 0 返回 a 的值
　　第 5 行，声明一个 int 类型的变量 hold 保存 a%b 的结果
　　第 6 行，把 b 的值赋给 a
　　第 7 行，把 hold 的值赋给 b
　　第 8 行，递归调用，直到 b 的值为 0 时返回 a 的值
　　最后第 8 行把 a 的值返回。
　　在首次调用这个方法传入 a 和 b 的值时第 3 行肯定不会执行，而是执行 5－8 行的代码， 由第 8行，我们可以看出程序的意思是 a和 b的最大公约数与 b和 a%b 的最大公约数相同。
　　假设程序进行三次递归：
　　第一次程序传入 a 和 b，
　　35
　　30
　　第二次相当于传入 b 和 a%b，
　　30
　　5
　　第三次相当于传入 a%b 和 0；（上次中 b%(a%b)=0）
　　5
　　0
　　最后程序返回 a%b。
　　5
　　由此我们可以得到如下两个命题：
　　命题一：a 和 b 的最大公约数与 b 和 a%b 的最大公约数相同；
　　命题二：如果 b%(a%b)=0，那么 a 和 b 的最大公约数为 a%b，（其中 a，b 都为正整数，且 a%b!=0）。
　　如果能证明这两个命题，则上面的算法也就不难理解了：因为程序实际上一直在运用命题一反复进行递归调用，只是在最后两次时运用命题二，得出最后结果。
　　我们先看命题一：a 和 b 的最大公约数与 b 和 a%b 的最大公约数相同。 证明：由于 a%b!=0 则 a!=b，当 a
　　当 a>b  时可设 a 和 b 的最大公约数为 x；
　　a=mx，b=nx，其中 m 和 n 为正整数且 m 与 n 互质（除 1 之外再无其它公因数） 则可设：a%b=(m-kn)x，其中 k 为正整数
　　这说明：b 和 a%b 有公因数 x，下面证明 n 与 m-kn 互质 假设 n 与 m-kn 有公因数 y，y 为正整数且 y 不等于 1 则可设：n=py，m-kn=qy，其中 p 和 q 为正整数 那么：m-kn=m-kpy=qy
　　可得：m=kpy+qy=(kp+q)y
　　这说明 m 和 n 有公因数 y，与 m 和 n 互质相矛盾，故 n 与 m-kn 互质 由此得 b 和 a%b 的最大公约数也为x，命题一得证。
　　再看命题二：如果 b%(a%b)=0，那么 a 和 b 的最大公约数为 a%b
　　为了便于证明我们修改一下这个命题：
　　已知：m 为正整数，a=mb+x（即 a%b=x），b 能被 x 整除（即 b%x=b%(a%b)=0），
　　求证：a 和 b 的最大公约数为 x（即 a%b） 证明：因为 b 能被 x 整除，故可设
　　b=nx，（其中 n 为正整数）
　　则：
　　a=mb+x
　　=mnx+x
　　=(mn+1)x
　　所以：
　　a 也能被 x 整除 那么：
　　a 和 b 的最大公约数一定是 x 的倍数，假设为 kx，其中 k 为正整数 则可设：
　　a=pkx，b=qkx，其中 p 和 q 都为正整数
　　那么：
　　a=mb+x
　　=mqkx+x
　　=(mqk+1)x=pkx
　　故：
　　mqk+1=pk
　　解出 k 得：
　　k=1/(p-mq)
　　由于：其中 m、p、q、k 都为正整数故：k 的值只能为 1
　　所以：a 和 b 的最大公约数为 x，命题二得证。
　　至此问题得以解决。