Dijkstra（迪克斯特拉）最短路径算法

1、算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 ,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2、算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

3、举例分析。

步骤	S集合	U集合
1	以A为源点，此时S={A} 最短路径：AA=0 以A为中间点，从A开始找	U={B、C、D、E、F} AB=6 AC=3 AU中其它顶点= AC=3最短
2	将C加入S中，S={A、C} 最短路径：AA=0，AC=3 以C为中间点，从AC=3这条最短路径开始找	U={B、D、E、F} ACB=5（比上一步的AB=6短） ACD=6 ACE=7 ACU中其它顶点= ACB=5最短
3	将B加入S中，S={A、C、B}  最短路径：AA=0，AC=3、ACB=5 以B为中间点，从ACB=5这条最短路径开始找	U={D、E、F} ACBD=10（比第二步中的ACD=6长，所以将D的权值更改为ACD=6） ACBU中其它顶点= ACD=6最短
4	将D加入S中，S={A、C、B、D}  最短路径：AA=0，AC=3、ACB=5、ACD=6 以D为中间点，从ACD=6这条最短路径开始找	U={E、F} ACDE=8（比第二步中的ACE=7长，所以将E的权值更改为ACE=7） ACDF=9 ACE=7最短
5	将E加入S中，S={A、C、B、D、E}  最短路径：AA=0，AC=3、ACB=5、ACD=6、ACE=7 以E为中间点，从ACE=7这条最短路径开始找	U={F} ACEF=12（比第四步中的ACDF=9长，所以将F的权值更改为ACDF=9） ACDF=9最短
6	将F加入S中，S={A、C、B、D、E、F}  最短路径：AA=0，AC=3、ACB=5、ACD=6、ACE=7、ACDF=9	U集合为空，所有点的最短路径查找完毕。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

四、matlab代码

function[dist priorVertex]=Dijkstra(w,start,terminal)
w=[0 6 3 inf inf inf;
    inf 0 inf 5 inf inf;
    inf 2 0 3 4 inf;
    inf inf inf 0 2 3;
    inf inf inf inf 0 5;
    inf inf inf inf inf inf];
 n=size(w,1);
 w1=w(1,:);
 V=1:n;%赋初值
 for i=1:n
     dist(i)=w1(i);%辅助数组dist。它的每一个分量dist[i]表示当前找到的从源点v1到顶点vi的最短路径的长度。
     priorVertex(i)=1;
 end
 S=[]
 S(1)=1;
 u=S(1);%更新前驱顶点
 k=1;
 while kdist(u)+w(u,i)%距离有变化的修正
             dist(i)=dist(u)+w(u,i);
             priorVertex(i)=u;
         end
     end
     %求v*
     v=Sdiff(1);
     m=length(Sdiff);
     for i=2:m;
         if dist(v)>dist(Sdiff(i))
             v=Sdiff(i);
         end
     end
     k=k+1;
     S(k)=v;%更新前驱顶点
     u=v;
 end
 disp('最终V1到各个顶点的最短距离分别为:')
 dist
 disp('最终各个顶点的直接前驱分别为:')
 priorVertex