漫步数学分析三十四——链式法则

求导中最重要的一个方法是链式法则，例如为了求 (x3+3)6 的导数，我们令 y=x3+3 ，首先求 y6 的导数，得到 6y5 ，然后乘以 x3+3 的导数得到最终的答案 6(x3+3)53x2 ，对多变量函数来说存在同样的处理过程。例如如果 u,v,f 是两个变量的实值函数，那么

∂∂xf(u(x,y),v(x,y))=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x

接下来我们给出一般的理论

定理5 令 f:A→Rm 在开集 A⊂Rn 上是可微的， g:B→Rp 在开集 B⊂Rm 上是可微的，假设 f(A)⊂B ，那么复合函数(composite) g∘f 在 A 上是可微的且 D(g∘f)(x0)=Dg(f(x0))∘Df(x0) 。

注意这个公式逻辑上是成立的，因为 Df(x0):Rn→Rm,Dg(f(x0)):Rm→Rp ，所以他们的复合是有定义的。

回顾一下两个矩阵的乘积对应于他们所表示线性变换的复合，从而根据定理5我们得出下面的事实： g∘f 在 x=(x1,…,xn) 处的雅克比矩阵是 f 在 x 处的雅克比矩阵与 f 在 f(x) 处的雅克比矩阵的乘积，那么如果 h=g∘f,y=f(x) ，可得

Dh(x)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂g1∂y1⋅⋅⋅∂gp∂y1……∂g1∂ym⋅⋅⋅∂gp∂ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂f1∂x1⋅⋅⋅∂fm∂x1……∂f1∂xn⋅⋅⋅∂fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

其中 ∂gi/∂yj 是 y=f(x),∂fi/∂xj 在 x 处求的值，写出来就是

∂h1∂x1=∑j=1m∂g1∂yj∂fj∂x1

当我们改变变量的话会发生下面的情况，例如假设 f(x,y) 是一个实值函数，令 x=rcosθ,y=rsinθ ，其中 r,θ (极坐标)是新变量，那么我们得到下面的公式

h(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)

从而

∂h∂r=∂f∂xcosθ+∂f∂ysinθ

且

∂h∂θ=−∂f∂xrsinθ+∂f∂yrcosθ

对于球坐标 (r,φ,θ) 可以推出类似的公式，其中 x=rcosθsinφ,y=rcosθsinφ,z=rcosφ (我们会在后续文章中详细讨论球坐标)。

链式法则也称为复合函数定理，因为它告诉我们如何对复合函数求导。

另一种解释可能会更好理解。假设我们有函数 u(x,y),v(x,y),w(x,y),f(u,v,w) 并且他们构成函数 h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) ，那么根据定理5可得

∂h∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x+∂f∂w∂w∂x

粗略来说，我们可以从下面的公式看出上面的结论，

[h(x+Δx,y)−h(x,y)]Δx=[f(u(x+Δx,y),v(x+Δx,y),w(x+Δx,y))−f(u(x,y),v(x+Δx,y),w(x+Δx,y))]Δx+[f(u(x,y),v(x+Δx,y),w(x+Δy,y))−f(u(x,y),v(x,y),w(x+Δx,y))]Δx+[f(u(x,y),v(x,y),w(x+Δx,y))−f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))]Δx

接下来它近似于(利用 f(u+Δu,v,w)−f(u,v,w)≈Δu∂f/∂u )

∂f∂uΔuΔx+∂f∂vΔvΔx+∂f∂wΔwΔx

所以令 Δx→0 得出所要的公式。

例1： 对函数 f(u,v,w)=u2v+wv2,u=xy,v=sinx,w=ex 验证链式法则。

解： 这里 h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) 为

h(x,y)=x2y2sinx+exsin2x

所以直接可得

∂h∂x=2xy2sinx+x2y2cosx+exsin2x+ex2sinxcosx

另一方面

∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x+∂f∂w∂w∂x=2uv∂u∂x+u2∂v∂x+2wv∂v∂x+v2∂w∂x=2xy2sinx+x2y2cosx+2exsinxcosx+exsin2x

与上面的结果一样，对于 ∂h/∂y 来说同样可以得出他们是相同的。

例2： 令 f:R→R,F:R2→R 为 F(x,y)=f(xy) ，验证

x∂F∂x=y∂F∂y

解： 根据链式法则

∂F∂x=f′(xy)y

且

∂F∂y=f′(xy)x

得出所要的结论。