最短路问题的基本内容
最短路问题研究的是,在一个点与点之间连接形成的网络图中,对应路径赋予一定的权重(可以理解为两点之间的距离),计算任意两点之间如何和走,路径最短的问题。在这里的距离可以理解成各种两点之间某种任务的开销。
模型调用
解决最短路问题,一般可采取 dijkstra
或者floyd
这两种模型,模型调用形式如下:
[mydist,mypath]=mydijkstra(a,sb,db) % dijkstra模型 [mydist,mypath]=myfloyd(a,sb,db) % floyd模型
其中,
- a 为邻接矩阵
- sb 为起点标号
- db 为终点标号
- mydist 为最短路径长度
- mypath 为最短路径
模型完整代码
Dijkstra 模型代码
function [mydistance,mypath]=mydijkstra(a,sb,db); % 输入:a—邻接矩阵,a(i,j)是指i到j之间的距离,可以是有向的 % sb—起点的标号, db—终点的标号 % 输出:mydistance—最短路的距离, mypath—最短路的路径 n=size(a,1); visited(1:n) = 0; distance(1:n) = inf; distance(sb) = 0; %起点到各顶点距离的初始化 visited(sb)=1; u=sb; %u为最新的P标号顶点 parent(1:n) = 0; %前驱顶点的初始化 for i = 1: n-1 id=find(visited==0); %查找未标号的顶点 for v = id if a(u, v) + distance(u) < distance(v) distance(v) = distance(u) + a(u, v); %修改标号值 parent(v) = u; end end temp=distance; temp(visited==1)=inf; %已标号点的距离换成无穷 [t, u] = min(temp); %找标号值最小的顶点 visited(u) = 1; %标记已经标号的顶点 end mypath = []; if parent(db) ~= 0 %如果存在路! t = db; mypath = [db]; while t ~= sb p = parent(t); mypath = [p mypath]; t = p; end end mydistance = distance(db);
Floyd 模型代码
function [dist,mypath]=myfloyd(a,sb,db); % 输入:a—邻接矩阵,元素(aij)是顶点i到j之间的直达距离,可以是有向的 % sb—起点的标号;db—终点的标号 % 输出:dist—最短路的距离;% mypath—最短路的路径 n=size(a,1); path=zeros(n); for k=1:n for i=1:n for j=1:n if a(i,j)>a(i,k)+a(k,j) a(i,j)=a(i,k)+a(k,j); path(i,j)=k; end end end end dist=a(sb,db); parent=path(sb,:); %从起点sb到终点db的最短路上各顶点的前驱顶点 parent(parent==0)=sb; %path中的分量为0,表示该顶点的前驱是起点 mypath=db; t=db; while t~=sb p=parent(t); mypath=[p,mypath]; t=p; end
案例演示
对于上面的网络图,求解从 A 到 D 的最短路径。
整理邻接矩阵
首先整理出点与点之间连接关系,得出邻接矩阵。
假设点的排序为:
点位 | A | B1 | B2 | C1 | C2 | C3 | D |
---|---|---|---|---|---|---|---|
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
整理出 7*7 邻接矩阵:
完整代码
% 构造邻接矩阵 a = zeros(7); a(1,2) = 2; a(1,3) = 4; a(2,4) = 3; a(2,5) = 3; a(2,6) = 1; a(3,4) = 2; a(3,5) = 3; a(3,6) = 1; a(4,7) = 1; a(5,7) = 3; a(6,7) = 4; a = a + a'; a(a==0) = inf; % 零元素换成inf a(eye(7,7)==1)=0; % 对角线换成 0 [mydist1,mypath1]=mydijkstra(a,1,7) % dijkstra模型求解 [mydist2,mypath2]=myfloyd(a,1,7) % floyd 模型求解
运行结果
mydist1 =
6
mypath1 =
1 2 4 7
mydist2 =
6
mypath2 =
1 2 4 7
将序号还原成点位,即最短路径为 A → B1 → C1 → D