1、蒙特卡洛方法
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,数学家冯·诺依曼用闻名世界的赌城——蒙特卡罗命名(就是那个冯·诺依曼)。
蒙特卡罗方法解题过程的主要步骤:
a.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型,使所求的量恰好是该模型的概率分布或数字特征。
b.对模型的随机变量建立抽样方法,在计算机上进行模拟测试,抽取足够多的随机数。
c.对模拟实验结果进行统计分析,给出所求解的“估计”。
d.必要时,改进模型以提高估计精度和减少实验费用,提高模拟效率。
2、冯·诺依曼
冯·诺依曼(John von Neumann,1903~1957),20世纪最重要的数学家之一,在现代计算机、博弈论和核武器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一,被称为“计算机之父”和“博弈论之父”。主要贡献是:2进制思想与程序内存思想,当然还有蒙特卡洛方法。通过第一部分,可知,蒙特卡洛方法更多的是一种思想的体现(这点远不同于快排等“严格”类算法),下面介绍最常见的一种应用——随机数生成。
3、U(0,1)随机数的产生
对随机系统进行模拟,便需要产生服从某种分布的一系列随机数。最常用、最基础的随机数是在(0,1)区间内均匀分布的随机数,最常用的两类数值计算方法是:乘同余法和混合同余法。
乘同余法:其中,被称为种子,是模,是(0,1)区间的随机数。
混合同余法:其中,是非负整数。
这些随机数是具有周期性的,模拟参数的选择不同,产生的随机数质量也有所差异。更复杂的生成方法还有:
4、从U(0,1)到其它概率分布的随机数
离散型随机数的模拟
设随机变量U~U(0,1)的均匀分布,则,表明的概率与随机变量u落在与之间的概率相同。
例如:离散随机变量X有分布律
X | 0 | 1 | 2 |
P(x) | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
U是(0,1)的均匀分布,则有,这样得到的x便具有X的分布律。
连续型随机变量的模拟
常用的有两种方法:逆变换法和舍选法。逆变换法
定理:设随机变量Y的分布函数为F(y)是连续函数,而U是(0,1)上均匀分布的随机变量。另,则X和Y具有相同的分布。
证明:由定义知,X的分布函数
所以X和Y具有相同的分布。
这样计算得,带入均匀分布的U,即可得到服从的随机数Y。
例如:设X~U(a,b),则其分布函数为
则。所以生成U(0,1)的随机数U,则便是来自U(a,b)的随机数。
有些随机变量的累计分布函数不存在或者难以求出,即使存在,但计算困难,于是提出了舍选法
要产生服从的随机数,设x的值域为[a,b],抽样过程如下:
1.已知随机分布且x的取值区间也为[a,b],并要求,如图:
2.从中随机抽样得,然后由的均匀分布抽样得。
3.接受或舍弃取样值,如果舍弃该值;返回上一步,否则接受。几何解释如下:
常数c的选取:c应该尽可能地小,因为抽样效率与c成反比;一般取。这里的可以取均匀分布,这样由第二步中两个均匀分布便能得到其他任意分布的模拟抽样。
5、正态随机数的生成
除了上面的反函数法和舍选法,正态随机数还可以根据中心极限定理和Box Muller(坐标变换法)得到。
中心极限定理:如果随机变量序列 独立同分布,并且具有有限的数学期望和方差,则对于一切有
也就是说,当n个独立同分布的变量和,服从的正态分布(n足够大时)。
设n个独立同分布的随机变量,它们服从U(0,1)的均匀分布,那么渐近服从正态分布。
Box Muller方法,设(X,Y)是一对相互独立的服从正态分布的随机变量,则有概率密度函数:
令,其中,则有分布函数:
令,则分布函数的反函数得:。
如果服从均匀分布U(0,1),则可由模拟生成(也为均匀分布,可被代替)。令为,服从均匀分布U(0,1)。得:
X和Y均服从正态分布。用Box Muller方法来生成服从正态分布的随机数是十分快捷方便的。
下面介绍几种简单的随机数的算法
1 #include2 #include 3 #include 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++) 10 { 11 for (int j = 0; j < 10; j++) 12 { 13 printf("%d ",rand()); 14 } 15 printf("\n"); 16 } 17 return 0; 18 }
1 #include2 #include 3 #include 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++) 10 { 11 for (int j = 0; j < 10; j++) 12 { 13 printf("%d ",rand()*100/32767); 14 } 15 printf("\n"); 16 } 17 return 0; 18 }
也可以生成100——200之间的随机数
1 #include2 #include 3 #include 4 5 int main() 6 { 7 int i,j; 8 srand((int)time(0)); 9 for (int i = 0; i < 10; i++) 10 { 11 for (int j = 0; j < 10; j++) 12 { 13 printf("%d ",rand()/1000+100); 14 } 15 printf("\n"); 16 } 17 return 0; 18 }
使用rand()函数获取一定范围内的一个随机数
如果想要获取在一定范围内的数的话,直接做相应的除法取余即可。
1 #include2 #include 3 using namespace std; 4 int main() 5 { 6 srand(time(0)); 7 for(int i=0;i<10;i++) 8 { 9 //产生10以内的整数 10 cout< 10<<endl; 11 } 12 }
1 #include2 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b; 10 //printf("%lf",temp1); 11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数 12 double temp3=temp1-temp2*base; 13 //printf("%lf\n",temp2); 14 //printf("%lf\n",temp3); 15 *r=temp3; 16 double p=*r/base; 17 return p; 18 } 19 20 int main() 21 { 22 double r=5.0; 23 printf("output 10 number between 0 and 1:\n"); 24 for (int i = 0; i < 10; i++) 25 { 26 printf("%10.5lf\n",rand0_1(&r)); 27 } 28 return 0; 29 }
1 #include2 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b; 10 //printf("%lf",temp1); 11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数 12 double temp3=temp1-temp2*base; 13 //printf("%lf\n",temp2); 14 //printf("%lf\n",temp3); 15 *r=temp3; 16 double p=*r/base; 17 return p; 18 } 19 20 int main() 21 { 22 double m=1.0,n=5.0; 23 double r=5.0; 24 printf("output 10 number between 0 and 1:\n"); 25 for (int i = 0; i < 10; i++) 26 { 27 printf("%10.5lf\n",m+(n-m)*rand0_1(&r)); 28 } 29 return 0; 30 }
u为均值, 为方差,当n趋向于无穷大的时候,得到随机的随机分布为正态分布;
1 #include2 #include 3 4 double rand0_1(double *r) 5 { 6 double base=256.0; 7 double a=17.0; 8 double b=139.0; 9 double temp1=a*(*r)+b; 10 //printf("%lf",temp1); 11 double temp2=(int)(temp1/base); //得到余数 12 double temp3=temp1-temp2*base; 13 //printf("%lf\n",temp2); 14 //printf("%lf\n",temp3); 15 *r=temp3; 16 double p=*r/base; 17 return p; 18 } 19 20 double random_normality(double u,double t,double *r ,double n) 21 { 22 double total=0.0; 23 double result; 24 for (int i = 0; i < n; i++) 25 { 26 total+=rand0_1(r); 27 } 28 result=u+t*(total-n/2)/sqrt(n/12); 29 return result; 30 } 31 32 int main() 33 { 34 double r=5.0; 35 double u=2.0; 36 double t=3.5; 37 double n=12; 38 printf("output 10 number between 0 and 1:\n"); 39 for (int i = 0; i < 10; i++) 40 { 41 printf("%10.5lf\n",random_normality(u,t,&r,n)); 42 } 43 return 0; 44 }
补充知识点:leveldb中使用了一个简单的方式来实现随机化数;算法的核心是seed_ = (seed_ * A) % M,
下面把源代码贴出来,不难,可以和上面的参考下
1 private: 2 uint32_t seed_; 3 public: 4 explicit Random(uint32_t s) : seed_(s & 0x7fffffffu) { 5 // Avoid bad seeds. 6 if (seed_ == 0 || seed_ == 2147483647L) { 7 seed_ = 1; 8 } 9 } 10 uint32_t Next() { 11 static const uint32_t M = 2147483647L; // 2^31-1 12 static const uint64_t A = 16807; // bits 14, 8, 7, 5, 2, 1, 0 13 // We are computing 14 // seed_ = (seed_ * A) % M, where M = 2^31-1 15 // 16 // seed_ must not be zero or M, or else all subsequent computed values 17 // will be zero or M respectively. For all other values, seed_ will end 18 // up cycling through every number in [1,M-1] 19 uint64_t product = seed_ * A; 20 21 // Compute (product % M) using the fact that ((x << 31) % M) == x. 22 seed_ = static_cast((product >> 31) + (product & M)); 23 // The first reduction may overflow by 1 bit, so we may need to 24 // repeat. mod == M is not possible; using > allows the faster 25 // sign-bit-based test. 26 if (seed_ > M) { 27 seed_ -= M; 28 } 29 return seed_; 30 } 31 // Returns a uniformly distributed value in the range [0..n-1] 32 // REQUIRES: n > 0 33 uint32_t Uniform(int n) { return Next() % n; } 34 35 // Randomly returns true ~"1/n" of the time, and false otherwise. 36 // REQUIRES: n > 0 37 bool OneIn(int n) { return (Next() % n) == 0; } 38 39 // Skewed: pick "base" uniformly from range [0,max_log] and then 40 // return "base" random bits. The effect is to pick a number in the 41 // range [0,2^max_log-1] with exponential bias towards smaller numbers. 42 uint32_t Skewed(int max_log) { 43 return Uniform(1 << Uniform(max_log + 1)); 44 } 45 };
这里面也直接取模得到一定范围内的随机数,简单明了。
总之,做个简单的总结
C语言/C++怎样产生随机数:这里要用到的是rand()函数, srand()函数,和time()函数。
需要说明的是,iostream头文件中就有srand函数的定义,不需要再额外引入stdlib.h;而使用time()函数需要引入ctime头文件。
使用rand()函数获取一个随机数
如果你只要产生随机数而不需要设定范围的话,你只要用rand()就可以了:rand()会返回一随机数值, 范围在0至RAND_MAX 间。RAND_MAX定义在stdlib.h, 其值为2147483647。
使用rand函数和time函数
我们上面已经可以获取随机数了,为什么还需要使用time函数呢?我们通过多次运行发现,该程序虽然生成了10个随机数,但是这个10个随机数是固定的,也就是说并不随着时间的变化而变化。
这与srand()函数有关。srand()用来设置rand()产生随机数时的随机数种子。在调用rand()函数产生随机数前,必须先利用srand()设好随机数种子(seed), 如果未设随机数种子, rand()在调用时会自动设随机数种子为1。
上面的例子就是因为没有设置随机数种子,每次随机数种子都自动设成相同值1 ,进而导致rand()所产生的随机数值都一样。
srand()函数定义 : void srand (unsigned int seed);
通常可以利用geypid()或time(0)的返回值来当做seed
如果你用time(0)的话,要加入头文件#include
time(0)或者time(NULL)返回的是系统的时间(从1970.1.1午夜算起),单位:秒