动态规划表格法和备忘录法解决切木材问题

3.4 切木材问题(Rod-cutting problem)

3.4.1 问题描述

给一个长度为17的木材，可以切成小段卖出，价格根据小段的长度不同而不同。如何通过切成小段卖出尽可能高的总价钱？

3.4.2 算法思路

总体思路：
① 假如我们只有1米长的木材，那么就直接按1米的价格卖；
② 假如我们有2米长木材，那么可以切成两段卖(1+1=2元)或者直接按2米卖(4元)，所以两米时我们不切直接卖；
③ 假如我们有3米，那么我们可以直接按3米卖(5元)，或者切成一段1米和一段2米(1+4=5元)，此时，两种方案都行，都能取到最大收益5元。*注意：这里不能够切成三段1米卖，因为一旦有2米，我们就直接按2米卖获得的收益最高，所以不能把2米再切成两段1米。*这就是我们解法的关键点，我们后面一旦遇到2米，就直接看Length=2时的value，它代表着2米的最高利益。
依此类推…
④ 假如我们有10米，那么可以直接10米卖（30元）或者切成1米和9米（1+24=25元），或者切成2米和8米（4+20=24元），…，或者5米和5米（10+10=20元），把所有可能进行比较，最终选择其中价值最高的直接10米卖也就是，30元。
一旦超过10米之后，就没有直接卖的价格了，此时就只需要比较切开卖法的价格。

动态规划思想：

• 问题分阶段：把length=n的大问题，分为了一个个小问题
• 阶段有依赖：当我们算到后面大长度的时候，一旦出现某个小长度，我们就可以直接去看对应长度的value值，它代表着这个长度的最大收益，当我们在处理大问题时，都依赖于之前小问题的解。
• 依赖有重合：当我们在处理大长度的时候，就不用重复计算小长度的买法，避免了重复计算。

3.4.3 表格法代码实现

//表格法
public static int getValue(int[] cut_value,int rod_length){
	int[] rod_value=new int[rod_length];
	rod_value[0]=cut_value[0];//长度为1时，木材价值直接等于对应价格
	for(int i=1;i<rod_length;i++){
		/*核心代码*/
		rod_value[i]=cut_value[Math.min(i,cut_value.length-1)];//木材价值value先初始化为对应长度的价格price，如果木材长度超过提供价格的木材长度，就直接使用最长长度的价格。
		for(int j=0;j<=i/2;j++){
			rod_value[i]=Math.max(rod_value[i],rod_value[j]+rod_value[i-j-1]);//对应长度木材的价格，依次首尾相加的价格里面取其大者
		}
	}
	return rod_value[rod_length-1];
}

3.4.4 备忘录法代码实现

//备忘录法
public static int getValueByMemoization(int[] cut_values, int rod_length) {
	int[] rod_values = new int[rod_length];
	rod_values[0] = cut_values[0];
	return getValueByMemoization(cut_values, rod_length, rod_values);
}

private static int getValueByMemoization(int[] cut_values, int rod_length, int[] rod_values) {
	if( rod_values[rod_length-1]>0)//数值已经存在则无需求解
		return rod_values[rod_length-1];
	rod_values[rod_length-1] = cut_values [Math.min(rod_length-1,cut_values.length-1)];//木材价值value先初始化为对应长度的价格price，如果木材长度超过提供价格的木材长度，就直接使用最长长度的价格。
	for(int j=0;j<=(rod_length-1)/2;j++) {
		rod_values[rod_length-1] = Math. max( rod_values[rod_length-1],
		getValueByMemoization(cut_values, j+1, rod_values) +getValueByMemoization(cut_values, rod_length-j-1,  rod_values));
	}
	return  rod_values[rod_length-1];
}

3.4.5 算法复杂度

算法复杂度：Θ(n²)
分析：每算出一个子长度i对应的值，都要经过i/2次比较，若木材总长度为n，则需要求出n个子长度，所以Θ(n²)