动态规划表格法解决最长公共子序列(LCS)问题

3.5 最长公共子序列(LCS)

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3.5.1 问题描述

最长公共子序列(Longest Common Subseuence，LCS)问题：给定两个字符串，求解它们的最长公共子序列的长度，其中子序列是指：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下，删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

3.5.2 算法思路

简单地说，我们要填出下面这张表。

我们的目标是求出ABCBDAB和BDCABA的最长公共子序列。根据动态规划的原则，问题分阶段，那么最开始，我们可以看成求A和B、和BD…和BDCABA的最长公共子序列，这样就填出了第一行的值。

然后同样的道理，把第一列也填了。

这相当于基础工作，现在开始填写第二行。
归纳为：

• 元素相同，则把左上角的值+1填入
• 元素不同，则把相邻的上边和左边，这两格中最大的那一个数填入。

按照同样的道理，我们可以把整张表填完。这张表最右下角的值，就是最长公共子序列的长度

现在来求解最长公共子序列，因为最长公共子序列不唯一，我们这里就只求出一条路径

按照这样的原理，我们找出了一条路径。
根据填表原理，我们可以容易地看出一条最长公共子序列BCBA。当然，你也可以直接记忆为，谁往左上角走，就选谁，以及最后一个元素必须选，这样选中的就是最长公共子序列

3.5.3 表格法代码实现

public static String getLCSByTabulation(String str1, String str2){
        int row = str1.length();int col = str2.length();
        int [][] board =new int[row][col];
        board[0][0] = (str1.charAt(0)==str2.charAt(0))?1:0;
        /*核心代码*/
        for(int i=1;i<row;i++){//初始化第一列
            board[i][0] = (str1.charAt(i)==str2.charAt(0)|| board[i-1][0]==1)?1:0;
        }
        for (int j=1;j<col;j++){//初始化第一行
            board[0][j] = (str1.charAt(0)==str2.charAt(j)|| board[0][j-1]==1)?1:0;
        }
        for(int i=1;i<row;i++){
            for(int j=1;j<col;j++){
                if(str1.charAt(i)==str2.charAt(j)){//如果字符相同
                    board[i][j]=board[i-1][j-1]+1;//等于左上角值+1
                }else{//字符不同
                    board[i][j]=Math.max(board[i-1][j],board[i][j-1]);//继承上面或左边一个的最大值
                }
            }
        }
        int i=row-1,j=col-1;
        String lcs="";
        while(i!=0&&j!=0){
	        /*核心代码*/
            if(board[i][j]==board[i-1][j])//值和左边一格相同 
	            i--;
            else if(board[i][j]==board[i][j-1])//值和上边一格相同 
	            j--;
            else{//值来自左上角一格+1
                lcs = str1.charAt(i)+lcs;//这个元素是LCS的元素
                i--;j--;
            }
        }
        lcs=str1.charAt(i)+lcs;//到头啦，加上最后一个元素
        return lcs;
}

3.5.4 算法复杂度

算法复杂度：(mn)