几种博弈问题及算法
巴什博弈
巴什博弈是最基础的博弈游戏。
有一堆石子，共计n颗，规定二人每次拿1~m颗石头，先拿完者胜，求解先手是否能赢。
算法思想非常好考虑：
因为每次最多拿m颗石头，所以当n是m+1的倍数时，first无论拿多少颗，second只要在first之后拿能够凑够m+1颗石子就能胜利，所以first必败。
如果n不是m+1的倍数，假设n = (m+1)*s + r（1 <= r <= m-1），那么first只要在首轮拿走r颗石子，使得此时石子数目为m+1的倍数，就将必败态转移给了second，first延续上述的策略，first必胜。
参考题目：
HDU1849
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int N;
cin>>N;
while(N--)
{
int n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
if(n %(m+1) == 0)
{
cout<<"second"< HDU2149
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int main()
{
int m,n;
//田地m
while(scanf("%d %d",&m,&n) != EOF)
{
if(m<=n)
{
for(int i = m; i 威佐夫博弈
有两堆石子，两个玩家可以（1）从两堆石子中分别取相同数目的石子（2）从一堆石子中取任意数目的石子，求解先手是否能赢。
算法思想很巧（而且数学思想很BT）：
首先我们引入奇异局势（也就是必败局势，我实在是很不明白，为什么好好的名词非要按字面翻译成各种令人费解的名字）的概念：可以知道，（0，0）一定是一个奇异局势，以此类推（0，i），（i，i），（i，0）就一定是必胜局势。因必胜局势的上一步便是奇异局势，故我们可以得到奇异局势如下：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）……
可以发现（我没发现），奇异局势（ak，bk）是这样构成的：（ak，ak+k），ak是在前面未出现过的最小自然数。
奇异局势有以下三条性质：
- 任何自然数都包含在唯一一个奇异局势之中。
- 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
- 方法适当，非奇异局势可以变为奇异局势。
假设面对的局势是（a,b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；
如果a = ak ，b > bk，那么，取走b – bk个物体，即变为奇异局势；
如果 a = ak ， b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak – ab + ak个物体,变为奇异局势（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；
如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b – aj 即可。
以上关于非奇异到奇异的拿法是我粘的，总之，判断（a，b）是否为奇异矩阵的公式如下：
，如果成立，则此局面为奇异局势，先手必败。
参考题目：
POJ1067
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
long long n,m;
while(scanf("%I64d %I64d",&n,&m) != EOF)
{
if(n 尼姆博弈
尼姆博弈可以说是巴什博弈的加强版，即有N堆石子，可以从一堆石子中拿走任意个，先拿完者胜
算法推导可以见这位博主写的博文POJ-2234：
一个格局记为（x1,x2,...,xn)，且次序无关，此格局为 P-格局 当且仅当 x1^x2^...^xn = 0.其中^是按位异或运算
参考题目：
POJ2234
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn =1005;
const int INF =1e9;
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n) != EOF)
{
int a[maxn];
int ans = 0;
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
ans ^= a[i];
}
if(ans) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}
HDU1850
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 105;
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n) != EOF && n)
{
int a[maxn];
int tmp = 0;
int sum = 0;
for(int i = 1; i<=n; i++)
{
cin>>a[i];
tmp ^= a[i];
}
if(tmp == 0)
cout<<"0"<(tmp^a[i]))
sum++;
}
cout< 斐波那契博弈
1堆石子有n个（n>1）,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍，先取完者胜。
算法如下：
判断石子数是否为斐波那契数即可，若n = f（k），则先手必败。
因为在斐波那契数列中，f（i） = f（i - 1） + f （i - 2），所以很好证明f（i） <= f（i-1）*2.
参考题目
HDU2516
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
long long fib[120];
fib[1] = 1;
fib[2] = 1;
for(int i = 3; i<120; i++)
fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];
int n;
while(scanf("%d",&n) != EOF)
{
if(n==0)break;
int flag = 0;
for(int i = 1; i<120; i++)
{
if(fib[i] == n)
{
flag = 1;
break;
}
}
if(flag)
cout<<"Second win"< 环形博弈
n个石子围成一个环，每次可取走1个或相邻的两个，注意若两个石子之间的石子被取走，这两个石子仍然是不相邻的。
算法比较精妙，值得借鉴
对于n=1和n=2的情况，先手必胜。
当n=3时，显然先手必败。
当n>3时，我们可以对这个环画一个对称轴，无论先手怎么取，后手只要让这个环呈对称状就能赢。
参考题目：
POJ2484
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!= EOF &&n)
{
if(n==1||n==2)
cout<<"Alice"< HDU3951
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn =1005;
const int INF =1e9;
int main()
{
int N;
while(scanf("%d",&N) != EOF)
{
for(int t = 1; t<= N; t++)
{
int n,k;
cin>>n>>k;
if(k == 1)
{
if(n%2)
printf("Case %d: first\n",t);
else
printf("Case %d: second\n",t);
}
else
{
if(n>k)
printf("Case %d: second\n",t);
else
printf("Case %d: first\n",t);
}
}
}
return 0;
}