RSA - 原理、特点（加解密及签名验签）及公钥和私钥的生成

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RSA算法原理（二）

注意：

• RSA 加密或签名后的结果是不可读的二进制，使用时经常会转为 BASE64 码再传输。
• RSA 加密时，对要加密数据的大小有限制，最大不大于密钥长度。例如在使用 1024 bit 的密钥时（genrsa -out rsa_private_key.pem 1024），最大可以加密 1024/8=128 Bytes 的数据。数据大于 128 Bytes 时，需要对数据进行分组加密（如果数据超限，加解密时会失败，openssl 函数会返回 false），分组加密后的加密串拼接成一个字符串后发送给客户端。
• 为了保证每次加密的结果都不同，RSA 加密时会在待加密数据后拼接一个随机字符串，再进行加密。不同的填充方式 Padding 表示这个字符串的不同长度，在对超限数据进行分组后，会按照这个 Padding 指定的长度填入随机字符串。例如如果 Padding 填充方式使用默认的 OPENSSL_PKCS1_PADDING（需要占用 11 个字节用于填充），那么明文长度最多只能就是 128-11=117 Bytes。
• 一般默认使用 OPENSSL_PKCS1_PADDING。PHP 支持的 Padding 有 OPENSSL_PKCS1_PADDING、OPENSSL_SSLV23_PADDING、OPENSSL_PKCS1_OAEP_PADDING 和 OPENSSL_NO_PADDING。
• 接收方解密时也需要分组。将加密后的原始二进制数据（对于经过 BASE64 的数据，需要解码），每 128 Bytes 分为一组，然后再进行解密。解密后，根据 Padding 的长度丢弃随机字符串，把得到的原字符串拼接起来，就得到原始报文。

原理

RSA 算法的可靠性基础：对极大整数做因数分解是很困难的。

RSA 是非对称算法，加解密使用不同的密钥。

两个密钥都可以用于加密，解密时需要使用另一个密钥。但是，通常用公钥加密私钥解密，因为公钥是近乎完全公开的，对于私钥加密的数据，有太多的人可以解密了。理论上 A 和 B 之间要通过 RSA 实现保密通信，需要 A 和 B 各自生成一组密钥，同时保管好自己的私钥；用对方的公钥加密要发送的消息，用自己的私钥解密对方发送过来的消息。

在签名的场景下，用私钥签名，公钥验签。

RSA 比 DES 等对称算法慢得多。一般在实际数据传输时，用 RSA 来加密比较短的对称密码，双方交换密码后再使用 DES 等对称算法传输数据。

互质关系

如果两个正整数，除了 1 以外没有其他公因子，就称这两个数是互质关系。比如 3 和 5，13 和 31 等。

欧拉函数

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欧拉函数：求小于 $N$ 的正整数中与 $N$ 互质的数的数目。

例如，对应 8，与 8 互质的数有 1，3，5，7，所以 $\phi (N)$ = 4。

RSA 算法使用了欧拉函数的一个特例：如果 $N$ 可以分解成两个互质的整数之积：
$$N=pq$$
则
$$\phi (N)=\phi (p)\phi (q)=(p-1)(q-1)$$
比如，$\phi (35947)=\phi (103)\phi (349)=(102)(348)=35496$。

模反元素

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如果两个正整数 $a$ 和 $n$ 互质，那么一定可以找到整数 $b$，使得 $ab-1$ 被 $n$ 整除：
$$ab\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$
这时，$b$ 就叫做 $a$ 的"模反元素"。

欧拉定理证明当 $a,n$ 为两个互素的正整数时，则有 $$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$，其中 $\phi (n)$ 为欧拉函数（小于等于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数个数）。

上述结果可分解为 $a^{\phi (n)}=a\cdot a^{\phi (n)-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，其中 $a^{\phi (n)-1}$ 即为 $a$ 关于模 $n$ 之模反元素。

举例

求整数 3 对同余 11 的模逆元素 x,
$$x\equiv 3^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$$
上述方程可变换为
$$3x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$$
在整数范围 ${\mathbb{Z}}_{11}$ 内，可以找到满足该同余等式的 $x$ 值为4，如下式所示
$$3(4)=12\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}11)$$
并且，在整数范围 ${\mathbb{Z}}_{11}$ 内不存在其他满足此同余等式的值。

故，整数3对同余11的模逆元素为4。

生成公钥和私钥

• 随意选择两个大的质数 $p$ 和 $q$，$p$ 不等于 $q$，计算 $N=pq$。
• 根据欧拉函数，求得 $r=\phi (N)=\phi (p)\phi (q)=(p-1)(q-1)$
• 选择一个小于 $r$ 的整数 $e$，使 $e$ 与 $r$ 互质。并求得 $e$ 关于 $r$ 的模反元素，命名为 $d$（求 $d$ 令 $ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$）。（模反元素存在，当且仅当 $e$ 与 $r$ 互质）
• 将 $p$ 和 $q$ 的记录销毁。

$(N,e)$ 是公钥， $(N,d)$ 是私钥。公钥发送给所有的通信对象（对服务器来说就是所有的客户端），私钥则必须保管好，防止泄露。

加密消息

假设客户端要向服务器发送消息 $m$，服务器的公钥是 $N$ 和 $e$。客户端将消息 $m$ 转换为一个小于 $N$ 的非负整数 $n$，比如可以将每一个字转换为这个字的 Unicode 码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如信息非常长的话，可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为 $n$。用下面这个公式他可以将 $n$ 加密为 $c$：
$$c\equiv n^e(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)$$
计算 $c$ 并不复杂。客户端算出 $c$ 后就可以将它传递给服务器。

解密消息

得到消息 $c$ 后，可以利用密钥 $d$ 来解码。可以用以下这个公式来将 $c$ 转换为 $n$：
$$c^d\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)$$
得到 $n$ 后，可以将原来的信息 $m$ 重新复原。

解码的原理是：
$$c^d\equiv n^{e\cdot d}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)$$
已知 $ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$，即 $ed=1+h\phi (N)$。由欧拉定理得：

$$n^{ed}=n^{1+h\phi (N)}=n{\left(n^{\phi (N)}\right)}^h\equiv n(1{)}^h(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)$$

签名消息

RSA 也可以用来为一个消息签名。

对消息字符串的散列值（Message digest，用 MD5、SHA256 等算法求得的长度较短且固定的字符串）使用 RSA 的私钥计算签名（实际上仍然是加密消息）后，得到一个签名字符串，将其附加在消息字符串的合适位置后，一并发送。接收方使用对应的公钥可以从签名字符串中解密出原来的散列值，同时对原始消息再计算一次散列值。二者相比较，假如两者相符的话，则认为发信人持有正确的私钥，并且这个消息在传播路径上没有被篡改过。

密钥长度

用户应使用 1024 位密钥，证书认证机构应用 2048 位或以上。

特点

RSA 之所以叫非对称算法，是因为加密和解密的密钥不一样。任何一个密钥都可以用来加密。

公钥和私钥

通过私钥可以轻松计算出公钥，反之不行。

1. 随机选择两个不相等的质数 $p$ 和 $q$，$p$ 不等于 $q$，计算 $N=pq$。
   这里选择 103 和 349。$N=pq$ = 35947。$N$ 的长度就是密钥长度。35947 对应的二进制是 ‭1000110001101011‬，一共有 16 位，所以这个密钥就是 16 位。实际应用中 RSA 密钥一般是1024位。
2. 计算 $N$ 的欧拉函数 $\phi (N)$。$r=\phi (35947)=\phi (103)\phi (349)=(102)(348)=35496$。
3. 选择一个小于 $r$ 的整数 $e$，使 $e$ 与 $r$ 互质，这里取 $e=773$。
4. 求 $e$ 关于 $r$ 的模反元素，命名为 $d$（求 $d$ 令 $ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)ed\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$）。最终转为 773d-1=35496k 这个二元一次方程，求得一组解(d,k)=(45,1)。
5. 将 $(N,e)$ 封装成公钥， $(N,d)$ 封装成私钥。所以公钥就是 (35496 ,773)，私钥就是（35496 , 45）。

加密和解密

用公钥加密时，私钥可以解密。反之亦然，私钥加密后的信息用公钥可以解密。

签名和验签

操作

如果是对接其他平台提供的标准接口，如果这个接口用到了 RSA 加密，则需要这个平台提供对应的公钥。

Linux 下通过 OpenSSL 生成 RSA 公钥和私钥

需要提前在 Linux 上安装 OpenSSL，默认生成在当前用户家目录下：

[root@VM_120_242_centos ~]# openssl 
OpenSSL> genrsa -out app_private_key.pem   1024  # 生成私钥
Generating RSA private key, 1024 bit long modulus
.++++++
........++++++
e is 65537 (0x10001)

OpenSSL> rsa -in app_private_key.pem -pubout -out app_public_key.pem  # 生成公钥
writing RSA key
OpenSSL> exit

对于 PHP 可以直接使用上面生成的原始私钥。但是 Java 需要将私钥转换成 PKCS8 格式，然后将生成的 PKCS8 格式的私钥去除头尾、换行和空格，作为私钥字符串填入代码中：

OpenSSL> pkcs8 -topk8 -inform PEM -in app_private_key.pem -outform PEM -nocrypt -out app_private_key_pkcs8.pem # 私钥转成 PKCS8 格式

查看生成的文件：

[root@VM_120_242_centos ~]# ll
总用量 1064
-rw-r--r-- 1 root root    887 6月  14 11:25 app_private_key.pem
-rw-r--r-- 1 root root    272 6月  14 11:25 app_public_key.pem

查看公钥：

-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQC3//sR2tXw0wrC2DySx8vNGlqt
3Y7ldU9+LBLI6e1KS5lfc5jlTGF7KBTSkCHBM3ouEHWqp1ZJ85iJe59aF5gIB2kl
Bd6h4wrbbHA2XE1sq21ykja/Gqx7/IRia3zQfxGv/qEkyGOx+XALVoOlZqDwh76o
2n1vP1D+tD3amHsK7QIDAQAB
-----END PUBLIC KEY-----

转成 PKCS8 格式的公钥字符串为：

MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQC3//sR2tXw0wrC2DySx8vNGlqt3Y7ldU9+LBLI6e1KS5lfc5jlTGF7KBTSkCHBM3ouEHWqp1ZJ85iJe59aF5gIB2klBd6h4wrbbHA2XE1sq21ykja/Gqx7/IRia3zQfxGv/qEkyGOx+XALVoOlZqDwh76o2n1vP1D+tD3amHsK7QIDAQAB

查看私钥：

-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----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-----END RSA PRIVATE KEY-----