【数据结构】树专题 K-D树

如果我们作为中·华·有·为的HR，想要给那些年龄在20到35岁且年薪要求在10K~20K的技术人员发送面试邀请……这类问题就叫做二维范围查询 two-dimensional range query 。

如果只有一维的情况，我们可以通过递归遍历预先构造的二叉查找树来解决。但是对于二维或者更高维的情况，就需要新的数据结构。

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1. K-D树概念

二维查找树 two-dimensional search tree 具有简单的性质：奇数层的分支按照第一个键进行，偶数层的分支按照第二个键进行；根是任意选取的奇数层。对于K维的情况，同样的做法依然成立，通过每层的键进行。下图就是一棵2-d树：

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2. 具体实现

结点的基本项假设是一个两个元素的数组。另外，我们允许重复元的出现，并总把它们放在右分支。

(1) 结点信息

template <typename Comparable>
class KdTree {
private:
	struct KdNode {
		vector<Comparable> data;
		KdNode			  *left;
		KdNode			  *right;
		KdNode(const vector<Comparable> &item) : data(item), left(nullptr), right(nullptr) {}	
	};
	KdNode *root;
};

(2) 插入操作

2-d树的插入操作是二叉查找树插入操作的简单扩展，沿着树下行的时候，我们保留当前的层数信息，如果是奇数层，就对第0个元素进行键值比较；是偶数层，就对第1个元素进行键值比较。

私有方法和公共接口如下：

//插入的公共接口
void insert(const vector<Comparable> &x) {
	insert(x, root, 0);
}
//私有方法, 进行插入
void insert(const vector<Comparable> &x, KdNode *&t, int level) {
	if (t == nullptr) 
		t = new KdNode(x);
	else if (x[level] < t->data[level]) //比较该层的奇数1/偶数0处键值 
		insert(x, t->left, 1 - level);
	else 
		insert(x, t->right, 1 - level);
}

很容易就能发现，随机构造的2-d树和随机二叉查找树具有同样的结构化性质：高度平均为 $O(\log N)$ ，但是最坏是 $O(N)$ 。

另外，不存在已知的树旋转方案保证一棵平衡的2-d树，基于树旋转的方法在2-d树中行不通。最好的方法是定期重构子树来保持平衡。而且，也不存在超越懒惰删除方法的删除算法。

(3) 范围查询操作

2-d树上可以进行的查询有几种：精确的匹配或者基于两个键之一的匹配(部分匹配查询 partial match query) 。这两种都是(正交)范围匹配 range query 的特殊情形。

因此我们只完成正交范围查询的函数——它将给出第一个键在一个特顶的值集合之间且第二个键在另一个特定的值集合之间的所有项。范围查询通过一次递归的树遍历就可以完成：

/**
 * 打印满足下列条件的项 
 * low[0] <= x[0] <= high[0] && low[1] <= x[1] <= high[1]	
 */
void printRange(const vector<Comparable> &low, const vector<Comparable> &high) const {
	printRange(low, high, root, 0);
}

//打印范围 
void printRange(const vector<Comparable> &low, const vector<Comparable> &high,
				KdNode *t, int level) const {
	if (t != nullptr) {
		if (low[0] <= t->data[0] && high[0] >= t->data[0] &&
			low[1] <= t->data[1] && high[1] >= t->data[1])
			cout << "(" << t->data[0] << ","
				 		<< t->data[1] << ")" << endl;
		if (low[level] <= t->data[level])
			printRange(low, high, t->left, 1 - level);
		if (high[level] >= t->data[level])
			printRange(low, high, t->right, 1 - level);
	}
}

如果想找到特定的项，可以让两个键值的 low 都等于 high 并且等于要查找的项的对应键值；如果想执行部分匹配查询，让这次匹配涉及不到的键的值范围为 $-\infty \to \infty$ ，而其余的范围，则设置低点和高点等于匹配中涉及到的键的值。

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3. 数据测试

#include 
using namespace std;

int main() {
	KdTree<int> t;
	cout << "开始测试!" << endl;
	for (int i = 300; i < 370; ++i) {
	 	vector<int> it(2);
	 	it[0] = i;
	 	it[1] = 2500 - i;
	 	t.insert(it);
	}
	vector<int> low(2), high(2);
	low[0] = 70; low[1] = 2186;
	high[0] = 1000; high[1] = 2200; 

	t.printRange(low, high);
    return 0;
}

运行如下：