[2019 CSP-S Day1 T2]括号树

题目

传送门 to luogu

传送门 to nowcoder

思路

对于子串，完全可以这么定义：

首先定义一个函数 $f(s)=a_1{a}_2\dots a_{n-1}$ （即字符串 $s$ 去掉末尾字符），我们说一个串 $s_0$ 是 $s$ 的子串，当且仅当 $s_0$ 是 $f(s)$ 的子串，或者 $s_0$ 是 $s$ 的后缀。

更通俗的说，子串要么包括最后一个字符，要么不包括。这不是废话吗

但是！本题中某个节点对应的字符串，去掉末尾字符，恰好就是父节点的字符串！

这提示我们，只计算以 $x$ 作为最后一个字符的子串的数量 $b_x$ 。那么 $k_x=k_{fa(x)}+b_x$ 。

合法的括号序列，一定以右括号)结尾。所以只在为右括号的节点上计算 $b_x$ 。

我们得先找到这个节点与哪个左括号(匹配。这本来是交给栈来做的。但是……

回溯怎么维护栈？——你的子节点一直弹栈，把你爹 祖坟 给挖了。

$update:$ 大佬让我打脸了…… 回溯可以维护栈 。

其实，我们不需要真的把栈存下来。我们用栈的目的，是求当前括号与谁匹配。

为了实现这一目的，用 $f(x)$ 表示 $x$ 的祖先（包括 $x$ ）中最下面的一个、未被匹配的(。

或者说，假设递归到 $x$ 的时候维护了一个栈，栈顶的左括号是谁。

那么 $x$ 就和 $p_x=f[fa(x)]$ 匹配（当 $x$ 是右括号时）。

一定有递推式

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x=LEFT)\\ f(fa(p_x))& (x=RIGHT)\end{array}$$

$x$ 是右括号时，$x$ 到 $p_x$ 之间的所有左括号都已经被匹配了。更前面一个的左括号，一定在 $p_x$ 的祖先中（不包括 $p_x$ 本身）。

$x$ 到 $p_x$ 一定不可以只选择一部分，并且自成体系，所以 $[l,x]$ 为合法的括号序列，当且仅当 $l\le p_x\wedge [l,\text{father}(p_x)]\in \mathbb{A}\mathbb{N}\mathbb{S}$ 。$\mathbb{A}\mathbb{N}\mathbb{S}$ 表示合法括号序列，包含空集。

$\text{wow}$，合法的 $l$ 的数量不就是 $b_{fa(p_x)}+1$ 嘛（ $1$ 来自于 $l=p_x$ 的情况）！

所以 $b_x=b_{\text{father}(p_x)}+1$ 。然后没了。

代码

其实不需要把 $k_x$ 数组开出来，直接在 $\text{dfs}$ 中下传即可。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
inline int readint(){
	int a = 0, f = 1; char c = getchar();
	for(; c<'0' or c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -1;
	for(; '0'<=c and c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}
void writeint(long long x){
	if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if(x > 9) writeint(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

struct Edge{
	int to, nxt;
	Edge(){	}
	Edge(int T,int N):to(T),nxt(N){	}
};

const int MaxN = 500005;
int n, head[MaxN], val[MaxN]; Edge edge[MaxN];
void addEdge(int from,int to){
	static int cntEdge = 0;
	edge[cntEdge] = Edge(to,head[from]);
	head[from] = cntEdge ++;
}
void input(){
	n = readint();
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		head[i] = -1;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		val[i] = (getchar() == '(' ? 1 : -1);
	for(int i=2; i<=n; ++i)
		addEdge(readint(),i);
}

long long ans;
int last[MaxN], cnt[MaxN], father[MaxN];
void dfs(int x,long long now){
// cnt[x]: b_x  last[x]: f(x)  now: s_{father(x)}
	if(val[x] == 1)
		last[x] = x;
	if(val[x] == -1){
		int id = last[father[x]]; // p_x
		last[x] = last[father[id]];
		if(id) // 可以匹配 
			cnt[x] = cnt[father[id]]+1;
	}
	now += cnt[x];
	ans = ans^(now*x);
	for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].nxt){
		father[edge[i].to] = x;
		dfs(edge[i].to,now);
	}
}
void solve(){
	dfs(1,0);
	writeint(ans);
	putchar('\n');
}

int main(){
	// freopen("brackets.in","r",stdin);
	// freopen("brackets.out","w",stdout);
	input();
	solve();
	return 0;
} 

后记

$\text{SXY}$大佬说：“为什么要写这种垃圾题？”

我的眼里冒出怒火，“有个弱者把这个‘垃圾题’从$\text{100pts}$写成了$\text{10pts}$……”

$\text{p.s.}$并不是写炸了，而是真的想错了……大样例能过你敢信？

他识趣地离开了。