[NOIP2015]推销员(salesman)

题目

传送门 to luogu

问题描述
阿明是一名推销员，他奉命到螺丝街推销他们公司的产品。螺丝街是一条死胡同，出口
与入口是同一个，街道的一侧是围墙，另一侧是住房。螺丝街一共有 $N$ 家住房，第 $i$ 家住户
到入口的距离为 $S_i$ 米。由于同一栋房子里可以有多家住户，所以可能有多家住房与入口的
距离相等。阿明会从入口进入，依次向螺丝街的 $X$ 家住房推销产品，然后再原路走出去。
阿明每走 $1$ 米就会积累 $1$ 点疲劳值，向第 $i$ 家住房推销产品会积累 $A_i$ 点疲劳值。阿明
是工作狂，他想知道，对于不同的 $X$ ，在不走多余路的前提下，他最多可以积累多少点疲劳
值。

输入格式
第一行有一个正整数 $N$ ，表示螺丝街住房的数量。

接下来的一行有 $N$ 个正整数，其中第 $i$ 个整数 $S_i$ 表示第 $i$ 家住户到入口的距离。数据
保证 $S_1\le S_2\le \dots \le S_n\le 10^8$ 。

接下来的一行有 $N$ 个整数，其中第 $i$ 个整数 $A_i$ 表示向第 $i$ 户住户推销产品会积累的疲
劳值。数据保证 $Ai<10^3$ 。

输出格式
输出 $N$ 行，每行一个正整数，第 $i$ 行整数表示当 $X=i$ 时，阿明最多积累的疲劳值。

数据范围与提示
对于$20\%$的数据，$1\le N\le 20$ ；
对于$40\%$的数据，$1\le N\le 100$ ；
对于$60\%$的数据，$1\le N\le 1000$ ；
对于$100\%$的数据，$1\le N\le 100000$ 。

思路

说明：为了行文方便，以下称 “一户人家” 为 “点” ，将要推销的点的集合为 $X$ 。

因为不走回头路，所以行走的疲劳值只有 $2{\max }_{x\in X}{S}_x$ ，而推销疲劳值为 ${\sum }_{x\in X}{A}_x$ ，所以有：

$$ans=2\underset{x\in X}{\max }{S}_x+\sum _{x\in X}{A}_x$$

注意到 ${\max }_{x\in X}{S}_x$ 的变化是非常难的，所以，我们不妨假设一组解。

在这组解中，我们将 $S$ 最大的点固定，剩下的点就可以任选，目的是让 $\sum A$ 最大。

很显然，剩下的点应当尽量去选择 $A$ 比较大的，因为 $S$ 已经不归它们管了。

所以，我们最多只需要一个点去得到较大的 $S$ ，于是就至少会选前 $i-1$ 大的 $A$ 。

固定了 $i-1$ 个极大的 $A$ 之后，剩下的一个就应该综合考虑 $S+A$ 了。这可以用 $\mathcal{O}(n)$ 的预处理得到。

当然，也有可能不考虑 $S+A$ ，直接全部选最大的 $A$ ，$S$ 就听天由命了。还是可以预处理。

上面这种情况的本质是，$S+A$ 中的 $S$ 却没有已经固定的大 $A$ 厉害。毕竟 $S+A$ 的考虑是比较狭隘的——它只考虑不属于前 $i$ 大的 $A$ 的点。

代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct Home{
    int s,a;
    bool operator<(const Home &x)const{
        return a>x.a;
    }
};

const int MAXN=100000;
int suma[MAXN+5],s_and_a[MAXN+5],maxs[MAXN+5];
Home home[MAXN+5];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);

    for(int i=1;i<=n;++i)
    	scanf("%d",&home[i].s);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    	scanf("%d",&home[i].a);
    sort(home+1,home+1+n);

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    	maxs[i]=max(maxs[i-1],home[i].s);
    	suma[i]=suma[i-1]+home[i].a;
    }
    for(int i=n;i>=1;--i)
    	s_and_a[i]=max(s_and_a[i+1],home[i].s*2+home[i].a);

    for(int i=1;i<=n;++i)
    	printf("%d\n",max(maxs[i]*2+suma[i],s_and_a[i]+suma[i-1]));
    return 0;
}

后记

我的所有博客中（我还是写了不少的），阅读比较多的竟然是这几篇：

• 巴拉巴拉（记不清名字了），是一道有点意思的黑题。
• 这篇博客，是一道绿题……
• 普林姆正确性的证明，而最小生成树的板题是黄色的……

我无话可说。您开心就好。