LeetCode 5. 最长回文子串 Longest Palindromic Substring

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba"也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

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摘要

这篇文章是为中级读者而写的。它介绍了回文，动态规划以及字符串处理。请确保你理解什么是回文。回文是一个正读和反读都相同的字符串，例如，“aba”\textrm{“aba”}“aba” 是回文，而 “abc”\textrm{“abc”}“abc” 不是。

解决方案

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方法一：最长公共子串

常见错误

有些人会忍不住提出一个快速的解决方案，不幸的是，这个解决方案有缺陷(但是可以很容易地纠正)：

反转 SSS，使之变成 S′S'S​′​​。找到 SSS 和 S′S'S​′​​ 之间最长的公共子串，这也必然是最长的回文子串。

这似乎是可行的，让我们看看下面的一些例子。

例如，S=“caba”S = \textrm{“caba”}S=“caba” , S′=“abac”S' = \textrm{“abac”}S​′​​=“abac”：

SSS 以及 S′S'S​′​​ 之间的最长公共子串为 “aba”\textrm{“aba”}“aba”，恰恰是答案。

让我们尝试一下这个例子：S=“abacdfgdcaba”S = \textrm{“abacdfgdcaba”}S=“abacdfgdcaba” , S′=“abacdgfdcaba”S' = \textrm{“abacdgfdcaba”}S​′​​=“abacdgfdcaba”：

SSS 以及 S′S'S​′​​ 之间的最长公共子串为 “abacd”\textrm{“abacd”}“abacd”，显然，这不是回文。

算法

我们可以看到，当 SSS 的其他部分中存在非回文子串的反向副本时，最长公共子串法就会失败。为了纠正这一点，每当我们找到最长的公共子串的候选项时，都需要检查子串的索引是否与反向子串的原始索引相同。如果相同，那么我们尝试更新目前为止找到的最长回文子串；如果不是，我们就跳过这个候选项并继续寻找下一个候选。

这给我们提供了一个复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n​2​​) 动态规划解法，它将占用 O(n2)O(n^2)O(n​2​​) 的空间（可以改进为使用 O(n)O(n)O(n) 的空间）。请在这里阅读更多关于最长公共子串的内容。
 

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方法二：暴力法

很明显，暴力法将选出所有子字符串可能的开始和结束位置，并检验它是不是回文。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n3)O(n^3)O(n​3​​)，假设 nnn 是输入字符串的长度，则 (n2)=n(n−1)2\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}(​2​n​​)=​2​​n(n−1)​​ 为此类子字符串(不包括字符本身是回文的一般解法)的总数。因为验证每个子字符串需要 O(n)O(n)O(n) 的时间，所以运行时间复杂度是 O(n3)O(n^3)O(n​3​​)。

• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)。
   

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方法三：动态规划

为了改进暴力法，我们首先观察如何避免在验证回文时进行不必要的重复计算。考虑 “ababa”\textrm{“ababa”}“ababa” 这个示例。如果我们已经知道 “bab”\textrm{“bab”}“bab” 是回文，那么很明显，“ababa”\textrm{“ababa”}“ababa” 一定是回文，因为它的左首字母和右尾字母是相同的。

我们给出 P(i,j)P(i,j)P(i,j) 的定义如下：

 

 

P(i,j)={true,false,如果子串Si…Sj是回文子串其它情况

 

 

因此，

 

P(i,j)=(P(i+1,j−1) and Si==Sj) P(i, j) = ( P(i+1, j-1) \text{ and } S_i == S_j ) P(i,j)=(P(i+1,j−1) and S​i​​==S​j​​)

基本示例如下：

 

P(i,i)=true P(i, i) = true P(i,i)=true

 

P(i,i+1)=(Si==Si+1) P(i, i+1) = ( S_i == S_{i+1} ) P(i,i+1)=(S​i​​==S​i+1​​)

这产生了一个直观的动态规划解法，我们首先初始化一字母和二字母的回文，然后找到所有三字母回文，并依此类推…

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n​2​​)， 这里给出我们的运行时间复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n​2​​) 。

• 空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n​2​​)， 该方法使用 O(n2)O(n^2)O(n​2​​) 的空间来存储表。

补充练习

你能进一步优化上述解法的空间复杂度吗？
 

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方法四：中心扩展算法

事实上，只需使用恒定的空间，我们就可以在 O(n2)O(n^2)O(n​2​​) 的时间内解决这个问题。

我们观察到回文中心的两侧互为镜像。因此，回文可以从它的中心展开，并且只有 2n−12n - 12n−1 个这样的中心。

你可能会问，为什么会是 2n−12n - 12n−1 个，而不是 nnn 个中心？原因在于所含字母数为偶数的回文的中心可以处于两字母之间（例如 “abba”\textrm{“abba”}“abba” 的中心在两个 ‘b’\textrm{‘b’}‘b’ 之间）。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n​2​​)， 由于围绕中心来扩展回文会耗去 O(n)O(n)O(n) 的时间，所以总的复杂度为 O(n2)O(n^2)O(n​2​​)。

• 空间复杂度：O(1)O(1)O(1)。
   

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方法五：Manacher 算法

还有一个复杂度为 O(n)O(n)O(n) 的 Manacher 算法，你可以在这里找到详尽的解释。然而，这是一个非同寻常的算法，在45分钟的编码时间内提出这个算法将会是一个不折不扣的挑战。但是，请继续阅读并理解它，我保证这将是非常有趣的。

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
    	if (s.isEmpty()) {
    		return null;
    	}
     
    	if (s.length() == 1) {
    		return s;
    	}
     
    	String longest = s.substring(0, 1);
    	for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
    		// get longest palindrome with center of i
    		String tmp = helper(s, i, i);
    		if (tmp.length() > longest.length()) {
    			longest = tmp;
    		}
     
    		// get longest palindrome with center of i, i+1
    		tmp = helper(s, i, i + 1);
    		if (tmp.length() > longest.length()) {
    			longest = tmp;
    		}
    	}
     
    	return longest;
    }
 
    // Given a center, either one letter or two letter, 
    // Find longest palindrome
    public String helper(String s, int begin, int end) {
    	while (begin >= 0 && end <= s.length() - 1 && s.charAt(begin) == s.charAt(end)) {
    		begin--;
    		end++;
    	}
    	return s.substring(begin + 1, end);
    }
}

 执行效率