欧几里得算法和扩展欧几里得算法-java递归实现

定义

  已知整数a,b,扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y，满足ax + by = gcd（a，b）

分析

 设 a>b

（1）显然当 b=0，gcd（a，b）= a。此时 x=1，y=0
（2）a>b>0 时

• 设 ax1 + by1 = gcd（a，b）
• bx2 + (a mod b)y2 = gcd（b，a mod b）

（3）由于 gcd（a，b）=  gcd（b，a mod b）

• 那么 ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2
• 即ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2
• 也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2)
• 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2
• 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2
• 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

java算法实现

import java.util.Scanner;

public class EEA {
	//扩展欧几里得算法求x、y
	static int x=-1;
	static int y=-1;
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner cin = new Scanner(System.in);
		while(cin.hasNext()) {
			int a = cin.nextInt();
			int b = cin.nextInt();
			int k1 = eeaGcd(a,b);
			System.out.println("最大公因子是："+k1+"，其中x="+x+"，y="+y);
		}
		cin.close();
	}
	
	//扩展欧几里得算法
	private static int eeaGcd(int a,int b) {
		//最简单的情形
		if(b==0) {
			x=1;
			y=0;
			return a;//最大公约数
		}else {
			//一般情形
			int r = eeaGcd(b,a%b);
			int t = x;
			x = y;
			y = t-a/b*y;
			return r;			
		}		
	}		
	
}

运行结果

500 200
最大公因子是：100，其中x=1，y=-2
10 2
最大公因子是：2，其中x=0，y=1
11 2
最大公因子是：1，其中x=1，y=-5