补上一道变态题的答案
文章目录
- 原题目
- 后改编题目
- 证明
之前在 Cauchy-Bunyakovsky不等式一文中有介绍这道题，我以为我会做了，然鹅，今天又做了一道基本是一样的题，还是不会，心态崩了。。所以还是把这道题记录一下好了o(╥﹏╥)o
原题目
设实数域上的 n n n级矩阵 A = ( B , C ) , B 是 n × m A=(B,C),B是n×m A=(B,C),B是n×m矩阵，证明：
∣ A ∣ 2 ≤ ∣ B ′ B ∣ ∣ C ′ C ∣ |A|^2\le |B'B||C'C| ∣A∣2≤∣B′B∣∣C′C∣
后改编题目
设 B , C B,C B,C分别是实数域上的 n × s , n × ( n − s ) n×s,n×(n-s) n×s,n×(n−s)矩阵，证明：
∣ B ′ B B ′ C C ′ B C ′ C ∣ ≤ ∣ B ′ B ∣ ∣ C ′ C ∣ \begin{vmatrix}B'B&B'C\\C'B&C'C\end{vmatrix}\le |B'B||C'C| ∣∣∣∣B′BC′BB′CC′C∣∣∣∣≤∣B′B∣∣C′C∣
这两种方式是不是一个意思？！做第一个题的时候我就机智的化成了改编题的形式，但是！化成这样是做不出来的！！(T＿T)
它就是要用最直接的办法求出 ∣ A ∣ 2 |A|^2 ∣A∣2
证明
- 不要犹豫，直接求 ∣ A ∣ 2 |A|^2 ∣A∣2: ∣ A ∣ = ∣ B C ∣ |A|=|BC| ∣A∣=∣BC∣ → L a p l a c e : 按 前 m 列 展 开 \xrightarrow{Laplace:按前m列展开} Laplace:按前m列展开 = ∑ 1 ≤ v 1 < v 2 < . . . < v m ≤ n B ( v 1 v 2 . . . v m 1 2 . . . m ) ⋅ C ( 1 2 . . . m j 1 j 2 . . . j n − m ) =\sum\limits_{1\le v_1<v_2<...<v_m\le n}B\begin{pmatrix}v_1&v_2&...&v_m\\1&2&...&m\end{pmatrix}\cdot C\begin{pmatrix}1&2&...&m\\j_1&j_2&...&j_{n-m}\end{pmatrix} =1≤v1<v2<...<vm≤n∑B(v11v22......vmm)⋅C(1j12j2......mjn−m) ⋅ ( − 1 ) 1 + 2 + . . . + m + v 1 + . . . + v m \cdot (-1)^{1+2+...+m+v_1+...+v_m} ⋅(−1)1+2+...+m+v1+...+vm 其中 { j 1 , j 2 , . . . , j n − m } = { 1 , 2 , . . . , n } − { v 1 , . . . , v m } \{j_1,j_2,...,j_{n-m}\}=\{1,2,...,n\}-\{v_1,...,v_m\} {j1,j2,...,jn−m}={1,2,...,n}−{v1,...,vm}
- ⇒ \Rightarrow ⇒ ∣ A ∣ 2 = ( ∑ 1 ≤ v 1 < v 2 < . . . < v m ≤ n B ( v 1 v 2 . . . v m 1 2 . . . m ) ⋅ C ( 1 2 . . . m j 1 j 2 . . . j n − m ) ⋅ ( − 1 ) 1 + 2 + . . . + m + v 1 + . . . + v m ) 2 |A|^2=\Big(\sum\limits_{1\le v_1<v_2<...<v_m\le n}B\begin{pmatrix}v_1&v_2&...&v_m\\1&2&...&m\end{pmatrix}\cdot C\begin{pmatrix}1&2&...&m\\j_1&j_2&...&j_{n-m}\end{pmatrix}\cdot (-1)^{1+2+...+m+v_1+...+v_m}\Big)^2 ∣A∣2=(1≤v1<v2<...<vm≤n∑B(v11v22......vmm)⋅C(1j12j2......mjn−m)⋅(−1)1+2+...+m+v1+...+vm)2
- 由Cauchy-Bunyakovsky不等式 ⇒ \Rightarrow ⇒ ( ∑ ( − 1 ) ? B C ) 2 ≤ ∑ B 2 ⋅ ∑ C 2 (\sum (-1)^?BC)^2\le\sum B^2\cdot \sum C^2 (∑(−1)?BC)2≤∑B2⋅∑C2
- 由Cauchy-Binet公式 ⇒ \Rightarrow ⇒ = ∣ B ′ B ∣ ⋅ ∣ C ′ C ∣ =|B'B|\cdot |C'C| =∣B′B∣⋅∣C′C∣