数值计算笔记之线性方程组的直接解法（二）矩阵的三角分解法(LU分解)

一、矩阵的三角分解法

定义：矩阵 A 分解为一个单位下三角阵（L）和一个上三角阵（U）的乘积的形式，称为对 A 三角分解。即：

其中，，   

现考虑方程组： ，设 ，则

  ，通过 2 式求得Y 的解，然后带入 1 式，求得 X 的解。因为 1、2 式都是关于三角矩阵的求解，所以求解过程很方便简单。

二、消去法与三角分解

设把第一行 乘以   ，加到 第 i 行上，把  变成 0. 即通过行变换把  变成 0。

左乘行变换，右乘列变换。即

 ，可以发现，要化为上三角需要 n-1 步。

 消去过程用矩阵表示为：

三、解线性方程组的LU分解法

定理：（矩阵的LU分解定理）

• 若 n 阶方阵  的各阶主子式均不为零，则存在唯一的单位下三角阵 和上三角阵 ，使 。

设  ，则

1.                                                                                      
2.                             

如下：

       

第一步，如下：

1、     ，没有变化

2、   ，

             

第二步，如下：

                    即  减去所在 列，所在行 对应的上级所有  与  的乘积。

 算  同上的基础上，在除以所在列的 

           

以后重复第二步，不过再算 、 的时候，减去的是：所在 列，所在行 对应的上级所有  与  的乘积 的和。

举个例子：

 作 LU 分解

解： 

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