线性方程组（六）- 线性方程组的应用

小结

1. 经济学中的齐次线性方程组
2. 配平化学方程式

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经济学中的齐次线性方程组

假设一个国家的经济体系可以划分为许多部门，如各种制造、交通、娱乐和服务业。假设我们知道每个部门的年度总产出，并精确知道该总产出是如何在其他经济部门进行分配或“交易”的。称一个部门产出的总货币价值为产出的价格。列昂惕夫证明了下面的结论：
存在能够指派给各个部门总产出的平衡价格，使得每个部门的总收入恰好等于它的总支出。

假设一个经济体系由煤炭、电力（电源）和钢铁三个部门组成，各部门之间的分配如下表所示，其中每一列中的数表示该部门总产出所占的比例。

如表的第二列，将电力的总产出分配如下：40%给煤炭部门，50%给钢铁部门，剩下10%分配给电力部门。
用符号$P_C$，$P_E$，$P_S$分别表示煤炭、电力和钢铁部门年度总产出的价格（即货币价值）。如果可能，求出平衡价格使每个部门的收支平衡。
解：某一部门所在的一列表示它的产出的去向，它所在的一行表示它从哪些部门获得了投入。因此可得出线性方程组：
$\{\begin{array}{l}{P}_C=0.4P_E+0.6P_S\\ P_E=0.6P_C+0.1P_E+0.2P_S\\ P_S=0.4P_C+0.5P_E+0.2p_S\end{array}$～$\{\begin{array}{l}{P}_C-0.4P_E-0.6P_S=0\\ -0.6P_C+0.9P_E-0.2P_S=0\\ -0.4P_C-0.5P_E+0.8p_S=0\end{array}$
接下来进行行化简。为简明起见，数值舍入到小数点后两位。
$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ -0.6& 0.9& -0.2& 0\\ -0.4& -0.5& 0.8& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ 0& 0.66& -0.56& 0\\ 0& -0.66& 0.56& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ 0& 0.66& -0.56& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ 0& 1& -0.85& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -0.94& 0\\ 0& 1& -0.85& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
可得通解：$\{\begin{array}{l}{P}_C=0.94P_S\\ P_E=0.85P_S\\ p_S为自由变量\end{array}$，向量参数形式为：
$\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}{P}_C\\ P_E\\ P_S\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.94P_S\\ 0.85P_S\\ P_S\end{array}\right]=P_S\left[\begin{array}{c}0.94\\ 0.85\\ 1\end{array}\right]$。
任何（非负）$P_S$取值可以算出平衡价格的一种取值。

配平化学方程式

化学方程式描述了化学反应的物质消耗和生产的数量。例如，当丙烷气体燃烧时，丙烷（$C_3{H}_8$）与氧气（$O_2$）结合生成二氧化碳（$C{O}_2$）和水（$H_{2}O$），化学方程式如下所示：
$(x_1)C_3{H}_8+(x_2)O_2\to (x_3)C{O}_2+(x_4)H_{2}O$
为“配平”这个方程式，化学家必须找到$x_1,\cdots ,x_4$的全体数量，使得方程式左边碳（$C$）、氢（$H$）、氧（$O$）原子的总数等于右边相应原子的总数。
配平化学方程式的一个系统方法是建立描述化学反应中每种类型原子数目的向量方程。由于该化学方程式包含三种类型的原子（碳、氢、氧），因此给每一种反应物和生成物构造一个属于${\mathbb{R}}^3$的向量，列出“每个分子的组成原子”数目如下：
$C_3{H}_8:\left[\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0\end{array}\right]$，$O_2:\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right]$，$C{O}_2:\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$，$H_{2}O:\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right]\begin{array}{ccc}& \leftarrow & 碳\\ & \leftarrow & 氢\\ & \leftarrow & 氧\end{array}$
要配平方程式，系数$x_1,\cdots ,x_4$必须满足
$x_1\left[\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right]$
将全部项移到左边，得到：
$x_1\left[\begin{array}{c}3\\ 8\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -2\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$
化简该方程组的增广矩阵
$\left[\begin{array}{ccccc}3& 0& -1& 0& 0\\ 8& 0& 0& -2& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}3& 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{8}{3}& -2& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}3& 0& -1& 0& 0\\ 0& 2& -2& -1& 0\\ 0& 0& \frac{8}{3}& -2& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& -\frac{1}{4}& 0\\ 0& 1& 0& -\frac{5}{4}& 0\\ 0& 0& 1& -\frac{3}{4}& 0\end{array}\right]$
可得通解：$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1}{4}{x}_4\\ x_2=\frac{5}{4}{x}_4\\ x_3=\frac{3}{4}{x}_4\\ x_4为自由变量\end{array}$，向量参数形式为：
$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}{x}_4\\ \frac{5}{4}{x}_4\\ \frac{3}{4}{x}_4\\ x_4\end{array}\right]=x_4\left[\begin{array}{c}\frac{1}{4}\\ \frac{5}{4}\\ \frac{3}{4}\\ 1\end{array}\right]$。
因为化学方程式的系数应为整数，故取$x_4=4$，那么$x_1=1，x_2=5，x_3=3$，配平的方程式为：$C_3{H}_8+5O_2\to 3C{O}_2+4H_{2}O$