图论的一些总结
图论之最
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图论常用奇技淫巧
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最短/最长路：
- 不含奇圈 ⇒ \Rightarrow ⇒二部图：取最短的路。还有一个技巧：两条路必有分离的点，取最后一个分离的点
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极大极小取法
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Euler图的证明 S = { G ∣ G 连 通 且 无 奇 度 顶 点 ， G 不 是 Euler图 } S=\{G|G连通且无奇度顶点，G不是\text{Euler图}\} S={G∣G连通且无奇度顶点，G不是Euler图}
取出边最少的图
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Dirac定理证明 S = { G ∣ G 最 小 度 δ ≥ ν 2 ， G 不 是 Hamilton图 } S=\{G|G最小度\delta\ge\frac{\nu}{2}，G不是\text{Hamilton图}\} S={G∣G最小度δ≥2ν，G不是Hamilton图}
取出边最多的图
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必有最小支配集 D D D，使得： ∀ v ∈ D , ∃ u ∈ V − D \forall v \in D,\exist u \in V - D ∀v∈D,∃u∈V−D， N ( u ) ∩ D = { v } N(u)\cap D=\{v\} N(u)∩D={v},取 G [ D ] G[D] G[D]边数最多的那个最小支配集。再用反证法。
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若 α ≥ κ ⇒ \alpha\ge\kappa\Rightarrow α≥κ⇒Hamilton图
取最长的圈
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取临界色图和最佳边染色
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任二奇圈都有公共点，则 χ ≤ 5 \chi\le5 χ≤5，取最小的圈，这个圈在原图中肯定没有弦，可以3正常染色。去掉这个圈，剩下的一定不是奇圈，故是二部图，二部图是2正常可染的。证毕。
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Vitaver;Roy;Gallai，有向图 G → \overrightarrow{G} G必有长为 χ ( G ) − 1 \chi(G)-1 χ(G)−1的有向路
删去最小弧集 A ′ A' A′使得 G → − A ′ \overrightarrow{G}-A' G−A′不含有向圈。证明有向路的起点与终点异色，证明任意弧的两端异色。这里取了距离作为一个参考，同时，在证明二部图等价无奇圈时也用了点到其他点的距离作为参考构建。
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Tutte给图添加极多的边不能再添加，使得再添加一条边就会有完美匹配。（和临界色图思想类似，再去掉一条边色数就会减少）
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数学归纳法：
- 树的 ε = ν − 1 \varepsilon=\nu-1 ε=ν−1
- 连通 ⇒ ε ≥ ν − 1 \Rightarrow\varepsilon\ge\nu-1 ⇒ε≥ν−1
- κ ≤ κ ′ \kappa\le\kappa' κ≤κ′：对 κ ′ \kappa' κ′作数学归纳
- whitney定理：对距离作数学归纳
- Konig, k − k- k−正则二部图有 k k k个完美匹配，对 k k k作数学归纳
- ⌈ ν 1 + Δ ⌉ ≤ α ′ ≤ ⌊ ν 2 ⌋ \lceil\frac{\nu}{1+\Delta}\rceil\le\alpha'\le \lfloor\frac{\nu}{2}\rfloor ⌈1+Δν⌉≤α′≤⌊2ν⌋
- Euler公式，对 ε \varepsilon ε作数学归纳
- Chavatal,Lavasz底图无孤立点，则必有孤立集 S S S使得对 V ( G ) − S V(G)-S V(G)−S中每个顶点 v v v，都存在 v 0 v_0 v0，在 G → \overrightarrow{G} G中从 v 0 v_0 v0到 v v v有长不超过2的有向路，对 ν \nu ν数学归纳
- Moon强连通竞赛图的泛圈性
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平均数中值法
- δ ( G ) ≥ ν + k − 2 2 ⇒ \delta(G)\ge\frac{\nu+k-2}{2}\Rightarrow δ(G)≥2ν+k−2⇒ κ \kappa κ连通，当 k = 1 k=1 k=1得到下一个定理
- δ ( G ) ≥ ν − 1 2 ⇒ \delta(G)\ge\frac{\nu-1}{2}\Rightarrow δ(G)≥2ν−1⇒连通且 κ ′ = δ ( G ) \kappa'=\delta(G) κ′=δ(G)
- 直径为2的连通图 κ ′ = δ ( G ) \kappa'=\delta(G) κ′=δ(G)
- γ ≤ ν 2 \gamma\le\frac{\nu}{2} γ≤2ν
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最难的Dirty inspiration:
- Tutte定理
- Hall定理以及其导出的匈牙利算法，值得注意的是hall定理早于tutte定理。
- Dirac哈密顿回路充分条件
- Chvatal度序列条件，证明满足这个度序列的闭包是完全图。
- 管梅谷中国邮路问题，（这个证明太巧妙了）以及Edmonds算法
- Bondy点独立和连通度，反证法。首先 ∀ x , y ∈ I , ∣ N ( x ) ∩ N ( y ) ∣ ≤ ν − α \forall x,y \in I, |N(x)\cap N(y)|\le\nu-\alpha ∀x,y∈I,∣N(x)∩N(y)∣≤ν−α，由此得 ∣ N ( x ) ∪ N ( y ) ∣ ≥ α ≥ k − 1 |N(x)\cup N(y)|\ge\alpha\ge k-1 ∣N(x)∪N(y)∣≥α≥k−1。点分成了三部分 G 1 , G 2 , S G_1,G_2,S G1,G2,S，从 G 1 , G 2 G_1,G_2 G1,G2分别取出来两点，即可导出矛盾。
- Chvatal点独立和Hamilton性
- Gallai α ′ + β ′ = ν \alpha'+\beta'=\nu α′+β′=ν
- vizing定理 Δ ( G ) ≤ χ ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 1 \Delta(G)\le\chi'(G)\le\Delta(G)+1 Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+1
- 不是奇圈的图，存在边-2染色，所用的两种;色在每个大于等于2度的顶点上出现，利用了欧拉图
- Brooks定理既不是奇圈，也不是完全图，则 χ ≤ Δ \chi\le\Delta χ≤Δ
- Dirac临界 k k k色图满足 κ ′ ≥ k − 1 \kappa'\ge k-1 κ′≥k−1并且由此可得推论 δ ≥ k − 1 \delta\ge k-1 δ≥k−1
- Kuratowski可平面 ⟺ \iff ⟺不含 K 5 K_5 K5和 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3的剖分
- Vitaver;Roy;Gallai，有向图 G → \overrightarrow{G} G必有长为 χ ( G ) − 1 \chi(G)-1 χ(G)−1的有向路
- Chvatal,Lavasz底图无孤立点，则必有孤立集 S S S使得对 V ( G ) − S V(G)-S V(G)−S中每个顶点 v v v，都存在 v 0 v_0 v0，在 G → \overrightarrow{G} G中从 v 0 v_0 v0到 v v v有长不超过2的有向路
- Moon强连通竞赛图的泛圈性
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有关支配集，独立集，覆盖集
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α ≥ γ \alpha\ge\gamma α≥γ 因极大独立集一定是极小支配集，一个集合是独立集，又是支配集，则一定是极大独立集。
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α ≤ κ \alpha\le\kappa α≤κ当任二不相邻顶点度数之和大于等于顶点数（Bondy点独立和连通度）
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若 α ≥ κ ⇒ \alpha\ge\kappa\Rightarrow α≥κ⇒Hamilton图（Chvatal点独立和Hamilton性）
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α + β = ν \alpha+\beta=\nu α+β=ν因点覆盖和点独立恰好互补
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α ′ ≤ β \alpha'\le\beta α′≤β因最大匹配中每条边至少有一个点覆盖，二部图取得等号
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对于二部图 α ′ = β \alpha'=\beta α′=β（Konig）
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⌈ ν 1 + Δ ⌉ ≤ α ′ ≤ ⌊ ν 2 ⌋ \lceil\frac{\nu}{1+\Delta}\rceil\le\alpha'\le \lfloor\frac{\nu}{2}\rfloor ⌈1+Δν⌉≤α′≤⌊2ν⌋对边作数学归纳，讨论分星图和非星图，不等式放缩。
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Gallai α ′ + β ′ = ν \alpha'+\beta'=\nu α′+β′=ν先证明 α ′ + β ′ ≤ ν \alpha'+\beta'\le\nu α′+β′≤ν（从最大匹配的角度出发），再证 α ′ + β ′ ≥ ν \alpha'+\beta'\ge\nu α′+β′≥ν（从最小边覆盖导出子图出发）
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由4,8得 α + β = α ′ + β ′ = ν \alpha+\beta=\alpha'+\beta'=\nu α+β=α′+β′=ν
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α ′ ≤ β ′ \alpha'\le\beta' α′≤β′当且仅当图有完美匹配时取得等号，因覆盖最大匹配 M ∗ M^* M∗关联的 2 M ∗ 2M^* 2M∗点至少需要 ∣ M ∗ ∣ |M^*| ∣M∗∣个条边
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α ≤ β ′ \alpha\le\beta' α≤β′覆盖点独立集 I I I至少需要 ∣ I ∣ |I| ∣I∣条边，（也可由9和5联合推出）二部图取得等号
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** γ \gamma γ是最小的， α \alpha α和 β \beta β之间没有确定的大小关系其他的都有总的来说 只需要记住 α ′ ≤ β \alpha'\le\beta α′≤β, α ′ ≤ β ′ \alpha'\le\beta' α′≤β′ **
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染色理论
- χ ′ ( K 2 n ) = 2 n − 1 \chi'(K_{2n})=2n-1 χ′(K2n)=2n−1因其可以分解成无交集的 2 n − 1 2n-1 2n−1个匹配
- 对于最佳边染色，在 u u u上颜色 i i i不出现，颜色 j j j出现了两次， G [ E i ∪ E j ] G[E_i\cup E_j] G[Ei∪Ej]含有 u u u的点必定是奇圈
- χ ′ ( G ) ≥ Δ ( G ) \chi'(G)\ge\Delta(G) χ′(G)≥Δ(G)
- 二部图 χ ′ ( G ) = Δ ( G ) \chi'(G)=\Delta(G) χ′(G)=Δ(G)(因二部图可以分解成 Δ \Delta Δ个无重复的匹配，得证)
- vizing定理 Δ ( G ) ≤ χ ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 1 \Delta(G)\le\chi'(G)\le\Delta(G)+1 Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+1，反证法，取任意一个点 u u u,假设最佳边 Δ + 1 \Delta+1 Δ+1染色不是正常染色，那么必有一个点某种色出现了至少两次，又( d ( v i ) < Δ + 1 d(v_i)<\Delta+1 d(vi)<Δ+1，颜色数比度还大)任意一个点，必有一种颜色不在点上出现。据此可以一直取色直到 k < m k
k<m 有 i m + 1 = i k i_{m+1}=i_k im+1=ik，因为邻点是有限的，必定会有颜色跑回去。 - 对于点色数，有：
- χ = 1 ⟺ \chi=1\iff χ=1⟺空图
- χ = 2 ⟺ \chi=2\iff χ=2⟺二部图
- χ = ν ⟺ G ⊇ K ν \chi=\nu\iff G\supseteq K_{\nu} χ=ν⟺G⊇Kν
- χ ( C 2 n − 1 ) = 3 \chi(C_{2n-1})=3 χ(C2n−1)=3
- χ ( G ) ≥ 3 ⟺ G \chi(G)\ge3\iff G χ(G)≥3⟺G含有奇圈
- 临界1色图 ⟺ G = K 1 \iff G=K_1 ⟺G=K1
- 临界2色图 ⟺ G = K 2 \iff G=K_2 ⟺G=K2
- 临界3色图 ⟺ G \iff G ⟺G是奇圈
- 色临界图是块。块一定没有一度点。
- 奇数阶正则图是第二类图，有割点的正则图是第二类图，奇圈是第二类图。3-正则哈密顿图是第一类图，二部图是第一类图。
- 很神奇的是， χ \chi χ不像边染色，它没有一个很紧的下界,上界也通常取不到。
- 对任意简单图， χ ≤ Δ + 1 \chi\le\Delta+1 χ≤Δ+1，奇圈和完全图取得上界
- 对于临界色图：$\kappa’\ge \chi-1 $ ；$\delta\ge \chi-1 $（把相同颜色的看作一个点，去找完美匹配），临界色图是简单连通图。
- (Brooks)方法就是讨论用临界色图，重新编号找到 x y ∈ E ( G ) , y z ∈ E ( G ) , x z ∉ E ( G ) xy\in E(G),yz\in E(G),xz\notin E(G) xy∈E(G),yz∈E(G),xz∈/E(G),这样给 x , y x,y x,y染同一个色就行了。如果是非临界色图，那就取他的一个临界色图即可。临界色图无非是奇圈，完全图和一般的，分三类讨论即可。
- 色数的度序列(降序，好像任意一个序列就行了。。。)要求： χ ≤ 1 + max i min { d i , i − 1 } \chi\le 1 + \max\limits_{i}\min\{d_i,i-1\} χ≤1+imaxmin{di,i−1}
- 色数的子图： χ ≤ 1 + max H ⊆ G δ ( H ) \chi\le 1+\max\limits_{H\subseteq G}\delta(H) χ≤1+H⊆Gmaxδ(H),色数和最长路 χ ≤ 1 + l ( G ) \chi\le 1+l(G) χ≤1+l(G)（一个图至少有长为 δ \delta δ的路）
- 上述的大多数都只适用于简单图，注意临界色图一定是连通简单图。Brooks适用于简单图
- 二部图的排课问题实际上是寻找二部图的匹配，即边染色，要求显然周课时恰好等于最大度数$\Delta $，匈牙利算法告诉我们如何寻找这些匹配，也就是课时安排。在更为一般情况下，还要求这些匹配之间的边数比较平均，因为同一个课时的边数意味着需要的教室数量，这种情况下总可以移动某些匹配边打到目的。
- 精确算法的点染色是添边粘合法：不相邻的点加边，加完边后把两点合并成一个点。加边意味着两点异色，粘合意味着同色。 χ ( G ) = min { χ ( G ′ ) , χ ( G ′ ′ ) } \chi(G)=\min\{\chi(G'),\chi(G'')\} χ(G)=min{χ(G′),χ(G′′)} 。整个求解过程实际上是一颗二叉树的搜索过程。叶子结点是一些完全图。
- 点染色的几个算法：
- 精确算法
- 规范染色：每次选出最大独立集
- 顺序染色：每次都选择 v i v_i vi邻点未使用的颜色的最小值，每次实际上是 c + + c++ c++
- 最大度优先：存在 V i V_i Vi所有点都不相邻的顶点，则将第一个点并入 V i V_i Vi，否则 V i V_i Vi已经不能再大了， i + + i++ i++，寻找下一个 V i V_i Vi，第一个点是未染色的第一个点。
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平面图
- ν − ε + φ = w + 1 \nu-\varepsilon+\varphi=w+1 ν−ε+φ=w+1
- 极大平面图的每个面度数都大于等于3，且连通。
- 每个面的度数至少是 l ⟺ ε ≤ l l − 2 ( ν − w − 1 ) l\iff\varepsilon\le\frac{l}{l-2}(\nu-w-1) l⟺ε≤l−2l(ν−w−1)
- 由3可推 ε ≤ 3 ν − 6 \varepsilon\le3\nu-6 ε≤3ν−6极大可平面图取得等号（有圈或者无圈分开讨论），这时候 φ = 2 ν − 4 \varphi=2\nu-4 φ=2ν−4
- 平面图的对偶图：面作为点，有公共边的面相邻。得到的一般都具有重边。割边对应环边。
- 总的来说记住1、2和3就行了。
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有向图
- 有向图 G → \overrightarrow{G} G必有长为 χ ( G ) − 1 \chi(G)-1 χ(G)−1的有向路
- 底图无孤立点，则必有点孤立集 S S S使得对 V ( G ) − S V(G)-S V(G)−S中每个顶点 v v v，都存在 v 0 v_0 v0，在 G → \overrightarrow{G} G中从 v 0 v_0 v0到 v v v有长不超过2的有向路，注意，独立集不一定唯一。底图是完全图时图叫做竞赛图，这个点叫做王。
- 有向圈 ⟺ \iff ⟺存在子图，每个点的出度都大于等于1
- 每个点出度为1 ⇒ \Rightarrow ⇒恰有一个有向圈
- 弱连通：底图是连通的；单连通：任二点，从一个点能到另一个点。强连通：任二点，能从一点到另一点，反之也成立。注：强连通必定单连通
- 单连通 ⟺ \iff ⟺所有点在有向闭途径
- 强连通 ⟺ \iff ⟺所有点在有向闭途径
- 无向图定向成强连通图 ⟺ \iff ⟺底图连通且无割边，得到一个Hopcroft-Tarjan定向算法
- 出度最大的点必为王，反之不真。
- 当且仅当出度等于 ν − 1 \nu-1 ν−1，这个点是唯一的王。一个图若没有全胜的点，必至少有两个王。
- 竞赛图必有Hamilton有向路（色数等于 ν \nu ν）最短路长为 ν − 1 \nu-1 ν−1
- Moon强连通竞赛图每个点都在长为 k = 2 , 3 , … , ν k=2,3,\dots,\nu k=2,3,…,ν的有向圈上，数学归纳，如果圈指向 v v v， v v v又指向圈，那个圈一定能走出来多走一个。如果圈全指向
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网络流与割
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零流不一定是零值流。流量最大的流被称为最大流
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( S , S ˉ ) (S,\bar{S}) (S,Sˉ)表示头在 S ˉ \bar{S} Sˉ尾在 S S S中的弧集，若 x ∈ S , y ∈ S ˉ x\in S,y\in \bar{S} x∈S,y∈Sˉ,则 ( S , S ˉ ) (S,\bar{S}) (S,Sˉ)称为一个割，割的容量是那些弧的所有容量，实际上就是指从 S S S里流出来的量。显而易见，一定存在最小割。给定 S S S，无非有三种弧，出来的弧：割；进去的弧：反过来的割；两端都在 S S S里的，这些弧上的流量要么在 S S S里面转圈，要么把流量传给其他两种弧。
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Val f = f + ( S ) − f − ( S ) \text{Val}~f=f^+(S)-f^-(S) Val f=f+(S)−f−(S)，其中 f f f是任意流， S S S是任意割
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任一可行流 f f f，和任一割： Val f ≤ Cap K \text{Val}~f\le\text{Cap}~K Val f≤Cap K，等号成立当且仅当 ( S , S ˉ ) (S,\bar{S}) (S,Sˉ)都是饱和的而 ( S ˉ , S ) (\bar{S},S) (Sˉ,S)都是零。意思就是那个从 S S S出来的都是饱和的，进去的都是0。不管内部的流究竟是怎么流通的，只要保证我出来的一定是饱和的进去的都是0就行了，里面再是无穷大的流量在流动，那也只是内部能量在打转，没有释放出来。
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4的推论：若 Val f = Cap K \text{Val}~f=\text{Cap}~K Val f=Cap K，则 f f f是最大流， K K K最小割。
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最大流最小割定理若 f f f最大流， K K K最小割，则 Val f = Cap K \text{Val}~f=\text{Cap}~K Val f=Cap K
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5,6构成一个流成为取得最大流的充要条件是最小割取得最小割容量
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底图中的任一两点 u , v u,v u,v之间的路称为 u v uv uv路，源地和汇点组成 x y xy xy路
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可增路：正向弧不饱和，反向弧大于零。可增的流量$\Delta f = \min\limits_{a\in P} \Delta f(a) $
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最大流的标号算法：一个点只能获取一次标号，当前点的入邻点流量不为零才获得当前点标号和流量的最小值，表示这个点能退回去的最小值。出邻点的流量不饱和的获得的标号是当前标号和流量的最小值，表示还能增加的流量。
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习题9.15来自习题9.5
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利用最大流可以求出二部图的最大匹配(完美匹配)
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最小费用流：流量固定，使得费用最少。增量网络：非饱和，正弧，非0，反弧。反弧费用都是负数。注意：这里的费用指的是单价。饱和弧只有反弧，0弧只可能有正弧。
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一个流一定可以表示成另外一个流和其增量网络的可行流的叠加。只需要适配一下这个增量网络的各个权值要么正弧等于0，要么反弧等于0(适配的时候注意饱和弧和0弧)。注意：如果没有弧，则默认这条弧的容量等于0。
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若 f f f是流量为0的流，但不是零值流，则 f f f可表示成若干个圈流之和。用非零流的边导出子图，导出子图必有一个圈，每条弧的流量都减去这些流当中的最小值。得到至少一条零流弧。有限步内可以做完。
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f f f是最小费用流当且仅当 N ( f ) N(f) N(f)没有负费用圈流。
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最小费用流有向负圈算法：先找一个可行流，再从增量网络里面去寻找负费用有向圈。删除这个圈。继续寻找。直到没有负费用圈。负费用圈的意思是圈上单价之和为负数。
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(下面自己的证明(好像是错的)) Δ ( G ) ≤ χ ′ ( G ) ≤ Δ ( G ) + 1 \Delta(G)\le\chi'(G)\le\Delta(G)+1 Δ(G)≤χ′(G)≤Δ(G)+1
我们来证明上界，首先证对于 ν − \nu- ν−阶 Δ \Delta Δ 正则图 G ′ , χ ′ ( G ′ ) ≤ Δ ( G ′ ) + 1 G',\chi'(G')\le\Delta(G')+1 G′,χ′(G′)≤Δ(G′)+1 。
对 ν ≥ 2 \nu\ge 2 ν≥2 奇偶分类（也可使用数学归纳法证明）
偶数：因 χ ′ ( K 2 n + 2 ) = 2 n + 1 \chi'(K_{2n+2})=2n+1 χ′(K2n+2)=2n+1, K 2 n + 2 K_{2n+2} K2n+2可以看作是由 2 n + 2 − 2n+2- 2n+2−阶 Δ \Delta Δ正则图 G ′ G' G′ 每个点添加 2 n − Δ + 1 2n-\Delta+1 2n−Δ+1条边生成，故 χ ′ ( G ′ ) ≤ χ ′ ( K 2 n + 2 ) − ( 2 n − Δ + 1 ) = 2 n + 1 − 2 n + Δ − 1 = Δ ≤ Δ ( G ′ ) + 1 \chi'(G')\le\chi'(K_{2n+2})-(2n-\Delta+1)=2n+1-2n+\Delta-1=\Delta\le\Delta(G')+1 χ′(G′)≤χ′(K2n+2)−(2n−Δ+1)=2n+1−2n+Δ−1=Δ≤Δ(G′)+1
奇数：因 K 2 n + 1 K_{2n+1} K2n+1是 K 2 n + 2 K_{2n+2} K2n+2的子图，显然 χ ′ ( K 2 n + 1 ) ≤ χ ′ ( K 2 n + 2 ) = 2 n + 1 \chi'(K_{2n+1})\le\chi'(K_{2n+2})=2n+1 χ′(K2n+1)≤χ′(K2n+2)=2n+1， K 2 n + 1 K_{2n+1} K2n+1可以看作是由 2 n + 1 − 2n+1- 2n+1−阶 Δ \Delta Δ正则图 G ′ G' G′ 每个点添加 2 n − Δ 2n-\Delta 2n−Δ 条边生成
故 χ ′ ( G ′ ) ≤ χ ′ ( K 2 n + 1 ) − ( 2 n − Δ ) ≤ χ ′ ( K 2 n + 2 ) − 2 n + Δ = 2 n + 1 − 2 n + Δ = Δ ( G ′ ) + 1 \chi'(G')\le\chi'(K_{2n+1})-(2n-\Delta)\le\chi'(K_{2n+2})-2n+\Delta=2n+1-2n+\Delta=\Delta(G')+1 χ′(G′)≤χ′(K2n+1)−(2n−Δ)≤χ′(K2n+2)−2n+Δ=2n+1−2n+Δ=Δ(G′)+1
对于任意一个最大度为 Δ \Delta Δ ν \nu ν阶的图 G G G都有一个对应的 Δ \Delta Δ正则图 G ′ G' G′ 使得 G G G是 G ′ G' G′的子图
故显然 χ ′ ( G ) ≤ χ ′ ( G ′ ) ≤ Δ ( G ) + 1 \chi'(G)\le \chi'(G')\le \Delta(G)+1 χ′(G)≤χ′(G′)≤Δ(G)+1